Risolvere un'equazione di primo grado fratta con radicali

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Risolvere un'equazione di primo grado fratta con radicali #57820

avt
Christian1988
Cerchio
Mi è capitata un'equazione fratta di primo grado con i radicali che secondo il libro è impossibile, mentre per me è determinata.

Esplicitare l'insieme delle soluzioni associato all'equazione fratta di primo grado

\frac{1-\sqrt{5}}{\sqrt{5}-x}=\frac{x^2+\sqrt{5}}{x^2-\sqrt{5}x}+\frac{1-x}{x}

utilizzando le proprietà dei radicali, se necessario.
 
 

Risolvere un'equazione di primo grado fratta con radicali #57852

avt
Ifrit
Ambasciatore
Consideriamo l'equazione fratta di primo grado

\frac{1-\sqrt{5}}{\sqrt{5}-x}=\frac{x^2+\sqrt{5}}{x^2-\sqrt{5}x}+\frac{1-x}{x}

Il nostro compito consiste nel determinare l'insieme delle soluzioni associato all'equazione.

Per prima cosa trasportiamo tutte le frazioni al primo membro, prestando la massima attenzione ai segni

\frac{1-\sqrt{5}}{\sqrt{5}-x}-\frac{x^2+\sqrt{5}}{x^2-\sqrt{5}x}-\frac{1-x}{x}=0

dopodiché scomponiamo il denominatore x^2-\sqrt{5}x in fattori irriducibili: è sufficiente raccogliere totalmente x e scrivere

x^2-\sqrt{5}x=x(x-\sqrt{5})

L'equazione diventa quindi

\frac{1-\sqrt{5}}{\sqrt{5}-x}-\frac{x^2+\sqrt{5}}{x(x-\sqrt{5})}-\frac{1-x}{x}=0

Ora non ci resta che determinare il minimo comune multiplo tra i polinomi a denominatore

\frac{-x(1-\sqrt{5})-(x^2+\sqrt{5})-(1-x)(x-\sqrt{5})}{x(x-\sqrt{5})}=0

Tenendo conto dei vincoli dettati dalle condizioni di esistenza, cancelliamo il denominatore così da ricavare l'equazione equivalente

-x(1-\sqrt{5})-(x^2+\sqrt{5})-(1-x)(x-\sqrt{5})=0

Sviluppiamo con calma i vari prodotti prestando la massima attenzione ai segni

\\ -x+\sqrt{5}x-x^2-\sqrt{5}-(x-\sqrt{5}-x^2+\sqrt{5}x)=0 \\ \\ -x+\sqrt{5}x-x^2-\sqrt{5}-x+\sqrt{5}+x^2-\sqrt{5}x=0

Sommiamo tra loro i termini simili ottenendo l'equazione di primo grado

-2x=0 \ \ \to \ \ x=0

Osserviamo che il valore ottenuto viola le condizioni di esistenza, ecco perché la soluzione non è accettabile. Possiamo quindi concludere che l'equazione è impossibile e il suo insieme soluzione coincide con l'insieme vuoto: S=\emptyset.
Ringraziano: Christian1988
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