Somma di cubi con coefficiente fratto

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Somma di cubi con coefficiente fratto #57676

avt
alfredo.liardo
Punto
Dovrei scomporre un polinomio in fattori irriducibili mediante la somma di cubi, in cui sono presenti dei termini fratti. Il polinomio da scomporre è

\frac{8}{27}b^3+1
 
 

Somma di cubi con coefficiente fratto #57698

avt
Ifrit
Ambasciatore
Per scomporre il polinomio

\frac{8}{27}b^3+1

possiamo usufruire della regola relativa alla somma di cubi

A^3+B^3=(A+B)(A^2-AB+B^2)

dove A \ \mbox{e} \ B rappresentano le basi dei due cubi. Al fine di risolvere problemi di questa tipologia, è necessario quindi riconoscere le basi dei cubi. Analizziamo i termini della somma partendo dal primo addendo

\frac{8}{27}b^3=\frac{2^3}{3^3}b^3=

che grazie alle proprietà delle potenze diventa

=\left(\frac{2}{3}b\right)^3

da cui ricaviamo la base del primo cubo: A=\frac{2}{3}b.

Per quanto concerne il secondo addendo, ossia 1, esso è chiaramente il cubo di se stesso, giacché 1^3=1, pertanto la base del secondo cubo è B=1.

In accordo con la regola sulla somma di cubi, otteniamo la scomposizione richiesta

\\ \frac{8}{27}b^3+1=\left(\frac{2}{3}b\right)^3+1^3=\left(\frac{2}{3}b+1\right)\left[\left(\frac{2}{3}b\right)^2-\frac{2}{3}b\cdot 1+1^2\right]= \\ \\ \\ =\left(\frac{2}{3}b+1\right)\left[\frac{4}{9}b^2-\frac{2}{3}b+1\right]

L'esercizio è concluso, giacché il fattore di secondo grado

\frac{4}{9}b^2-\frac{2}{3}b+1

è un falso quadrato, e in quanto tale irriducibile.
Ringraziano: Pi Greco, CarFaby
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Os