Disequazione esponenziale fratta per sostituzione

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Disequazione esponenziale fratta per sostituzione #57667

avt
FoolBoy
Punto
Ciao a tutti, ho difficoltà con la seguente disequazione esponenziale fratta che ho cercato di risolvere per sostituzione:

\frac{e^{3x^{2}}+e^{x^{2}}}{\left({e^{x}}\right)^{x}}\leq 3e^{x^{2}}

ho posto e^{x^{2}}=y

\frac{y^{3}+y}{y}\leq 3y

\frac{y(y^{2}-3y+1)}{y}\leq 0

risolvo la disequazione fratta:

y^{2}-3y+1\geq 0\ \Rightarrow\ y\leq \frac{3-\sqrt{5}}{2} \wedge y\geq \frac{3+\sqrt{5}}{2}

y>0

Considero gli intervalli negativi (disequazione minore di zero):

0<y<\frac{3-\sqrt{5}}{2}\vee y\geq \frac{3+\sqrt{5}}{2}

Quindi

e^{x^{2}}\geq 0\mbox{ per }\forall x \in \mathbb{R}

e^{x^{2}}\leq \frac{3-\sqrt{5}}{2} \Rightarrow -\sqrt{ln\left(\frac{3-\sqrt{5}}{2}\right)}\leq x\leq+\sqrt{ln\left(\frac{3-\sqrt{5}}{2}\right)}

e^{x^{2}}\geq \frac{3+\sqrt{5}}{2} \Rightarrow x\leq -\sqrt{ln\left(\frac{3+\sqrt{5}}{2}\right} \wedge x\geq +\sqrt{ln\left(\frac{3+\sqrt{5}}{2}\right)}

I valori delle soluzioni riportate dell'esercizio sono gli ultimi due,ma gli intervalli sono diversi (e non capisco perché escludere gli altri valori calcolati dalle prime due disuguaglianze!)
 
 

Disequazione esponenziale fratta per sostituzione #57683

avt
Omega
Amministratore
Ciao Foolboy,

l'idea di risolvere la disequazione esponenziale fratta per sostituzione è corretta. emt

E' corretta anche l'impostazione della disequazione fratta.

Avendo

\bullet\ \ \ \frac{y(y^{2}-3y+1)}{y}\leq 0

poniamo, a prescindere, numeratore e denominatore separatamente maggiori di zero:

- numeratore:

y^{2}-3y+1\geq 0 \Rightarrow y\leq \frac{3-\sqrt{5}}{2} \vee y\geq \frac{3+\sqrt{5}}{2}

y\geq 0

- denominatore:

y> 0

Quando tracci il grafico dei segni, devi tenere conto della richiesta sul segno della frazione complessiva. Noi in \bullet volevamo i valori di y che avrebbero reso la frazione negativa o al più nulla, dunque

\frac{3-\sqrt{5}}{2}\leq y\leq \frac{3+\sqrt{5}}{2}

Sospetto che tu abbia dimenticato di riportare la condizione y>0 DUE volte nel grafico dei segni, e forse potrebbe esserci qualcos'altro.


A questo punto essendo y=e^{x^2} esprimiamo le soluzioni in x. Ci rimane

\frac{3-\sqrt{5}}{2}\leq e^{x^2}\leq \frac{3+\sqrt{5}}{2}

da cui applicando il logaritmo naturale a tutti e tre i membri

\ln\left(\frac{3-\sqrt{5}}{2}\right)\leq x^2\leq \ln\left(\frac{3+\sqrt{5}}{2}\right)

Onde evitare di confonderci, ci ricordiamo che una doppia disequazione del tipo f(x)\leq g(x)\leq h(x) equivale al sistema di disequazioni \begin{cases}g(x)\geq f(x)\\ g(x)\leq h(x)\end{cases}, per cui passiamo a

\begin{cases}x^2\geq \ln\left(\frac{3-\sqrt{5}}{2}\right)\mbox{ verificata per ogni }x\mbox{, secondo membro negativo}\\ x^2\leq \ln\left(\frac{3+\sqrt{5}}{2}\right)\end{cases}

da cui, risolvendo le disequazioni di secondo grado

\begin{cases}\forall x\\ -\sqrt{\ln\left(\frac{3+\sqrt{5}}{2}\right)} \leq x\leq +\sqrt{\ln\left(\frac{3+\sqrt{5}}{2}\right)}\end{cases}

A te la semplice conclusione dell'esercizio. emt


Attenzione: l'uso dei connettivi logici che fai è sbagliato. Quando riporti l'insieme delle soluzioni di una disequazione come unione di più insiemi devi dire che vanno bene le soluzioni prese in uno dei due insiemi oppure nell'altro. Quell'oppure è inclusivo, dunque devi ricorrere al simbolo \vee e non \wedge, che ha il significato di e.
Ringraziano: FoolBoy

Disequazione esponenziale fratta per sostituzione #57684

avt
FoolBoy
Punto
Perfetto grazie, adesso ho notato l'errore che ho commesso (le due soluzioni della disequazione con incognita y le avevo rappresentate su tre linee grafiche, anziché 2!)

Non ci sono soluzioni reali, giusto?
La prima disequazione del sistema presenta ln con argomenti inferiori ad 1, pertanto il numero che ne risulterebbe è negativo. Il numero negativo è radicando di una radice di indice pari e pertanto le due soluzioni sono impossibili.
La seconda disequazione ammette soluzioni reali ma, trovandoci in un sistema, la soluzione è che è impossibile!

Omega grazie anche per la correzione dei connettivi, so il loro significato, ma sono un po' arrugginito e faccio ancora tanti errori. Hai fatto benissimo! emt

Disequazione esponenziale fratta per sostituzione #57696

avt
Omega
Amministratore
Alt emt la prima disequazione del sistema è verificata per ogni valore di x, proprio perché ci chiede

"quando un numero maggiore o uguale a zero, cioè x^2, è maggiore o uguale di un numero negativo, cioè \ln\left(\frac{3-\sqrt{5}}{2}\right) ?"

la risposta è: sempre.

Alla fine della fiera la prima disequazione è ridondante, il sistema si riduce solamente alla seconda disequazione che fornisce le soluzioni per la disequazione esponenziale fratta considerata inizialmente. emt

Soluzioni: -\sqrt{\ln\left(\frac{3+\sqrt{5}}{2}\right)} \leq x\leq +\sqrt{\ln\left(\frac{3+\sqrt{5}}{2}\right)}
Ringraziano: FoolBoy

Disequazione esponenziale fratta per sostituzione #57701

avt
FoolBoy
Punto
Benissimo, grazie! emt
Ringraziano: Omega
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Os