Disequazione esponenziale e irrazionale con indice della radice pari e simbolo maggiore

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Disequazione esponenziale e irrazionale con indice della radice pari e simbolo maggiore #57567

avt
vinx91ct
Banned
Ciao, ho una disequazione esponenziale con esponente irrazionale che non mi risulta, e vorrei chiedervi dove sbaglio.

2^{\sqrt{3-x}}>2^{1-x}

La base in entrambi i membri è maggiore di 1 e quindi non si cambia il simbolo della disequazione e si passa direttamente alla disequazione irrazionale

\sqrt{3-x}>{1-x}

Questa si risolve come segue

{tex}S_1\left\{\begin{matrix}
3-x\geqslant 0 \\
1-x<0
\end{matrix}\right. \bigcup S_2\left\{\begin{matrix}
1-x\geqslant 0 \\
3-x>(1-x)^2
\end{matrix}\right.{/tex}

Risolviamo prima il sistema di disequazioni S_1

{tex}S_1\left\{\begin{matrix}
3-x\geqslant 0\ \Rightarrow\ &x\leqslant 3 \\
1-x<0\ \Rightarrow\ &x>1
\end{matrix}\right. {/tex}

Intersecando le soluzioni delle due disequazioni del sistema S_1, si ottiene

1<x\leqslant 3

Risolviamo allo stesso modo S_2

{tex}S_2\left\{\begin{matrix}
1-x\geqslant 0\ \Rightarrow\ & x\leqslant 1 \\
3-x>(1-x)^2\ ;\ x^2-x-2<0\ \Rightarrow\ &-4<x<5
\end{matrix}\right.{/tex}

Intersechiamo tutte le soluzioni delle due disequazioni di S_2 e otteniamo

-4<x\leqslant 1

Quindi, dato che la disequazione è soddisfatta da S_1\cup S_2, allora l'unione dei due sistemi dovrebbe dare come soluzione 1<x\leqslant 3 \cup -4<x\leqslant 1 = x\in (-4,3]. Il risultato invece è un altro. Perché?
 
 

Re: Disequazione esponenziale e irrazionale con indice della radice pari e simbolo maggiore #57610

avt
Galois
Coamministratore
Ciao vinx91ct emt

Il metodo che hai seguito per risolvere la disequazione esponenziale passando ad una disequazione irrazionale è perfetto e non aggiungo altro emt

Hai solo commesso un piccolo errore quando hai risolto la disequazione di secondo grado:

x^2-x-2 < 0 del secondo sistema.

Essa è verificata per -1<x<2

Di conseguenza il secondo sistema ha come soluzione:

-1<x<2

Che, unita alla soluzione del primo sistema, ci da la soluzione della nostra disequazione esponenziale di partenza:

-1<x\leq 3, ovvero l'intervallo (-1,3]
Ringraziano: vinx91ct
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Os