Esercizio su divisione tra polinomi con regola di Ruffini

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Esercizio su divisione tra polinomi con regola di Ruffini #57543

avt
FAQ
Punto
Mi trovo in difficoltà a usare la regola di Ruffini per calcolare il quoziente e il resto di una divisione tra due polinomi. Proprio perché non ho capito come funziona, potreste spiegarmi il metodo usando il seguente esercizio come guida?

Utilizzare la regola di Ruffini per calcolare il quoziente e il resto della divisione polinomiale

(x^2-x-12):(x-4)

Grazie.
 
 

Esercizio su divisione tra polinomi con regola di Ruffini #57909

avt
Ifrit
Amministratore
Prima di occuparci dell'esercizio, è opportuno effettuare un brevissimo preambolo teorico sulla divisione con la regola di Ruffini.

Innanzitutto bisogna comprendere quando è possibile applicare questa regola: non è possibile usarla sempre, anzi, è necessario che i polinomi in gioco si presentino in una forma molto particolare.

Cerchiamo di essere più espliciti! Supponiamo di voler svolgere la divisione polinomiale

N(x) : D(x)

Possiamo avvalerci del metodo di Ruffini se:

- il dividendo N(x) è un polinomio di grado maggiore o uguale a 1 e ordinato secondo le potenze decrescenti di x. Se non fosse un polinomio ordinato, possiamo disporre i monomi che lo compongono secondo le potenze decrescenti dell'indeterminata;

- Il divisore D(x) è un binomio di primo grado con coefficiente direttivo pari a 1, ossia deve presentarsi nella forma D(x)=x-c.

In definitiva, la divisione tra i polinomi deve necessariamente essere nella forma notevole

N(x):(x-c)

Osserviamo che il metodo può essere applicato anche nel caso in cui il divisore si presenta nella forma

D(x)=ax-c \ \ \ \mbox{con} \ a\ne 0, \ 1

però prevede qualche passaggio algebrico preliminare che consente di ricondurci alla forma notevole. Per non appesantire troppo la spiegazione, ci occuperemo esclusivamente del caso base.

Consideriamo la divisione polinomiale

(x^2-x-12) : (x-4)

in cui il polinomio dividendo e il polinomio divisore sono rispettivamente

N(x)=x^2-x-12 \ \ \ \mbox{e} \ \ \ D(x)=x-4

Poiché il divisore è un binomio di primo grado, con coefficiente di x uguale a 1, possiamo avvalerci della tabella di Ruffini per determinare il quoziente e il resto.

Scriviamo i coefficienti del dividendo, uno di seguito all'altro, tracciamo due righe verticali, una prima del coefficiente di x^2 e l'altra poco prima del termine noto, dopodiché tracciamo una linea orizzontale:

\begin{array}{c|ccc|c}&1&&-1&-12\\ &&&& \\ &&&& \\ \hline &&&&\end{array}

Attenzione a questo passaggio: bisogna riportare il termine noto del divisore, cambiato di segno, nella prima posizione della seconda riga.

\begin{array}{c|ccc|c}&1&&-1&-12\\ &&&& \\ 4&&&& \\ \hline &&&&\end{array}

A questo punto, riscriviamo 1 sotto la linea di separazione

\begin{array}{c|ccc|c}&1&&-1&-12\\ &&&& \\ 4&&&& \\ \hline &1&&&\end{array}

Moltiplichiamolo per 4 e incolonniamo il prodotto sotto -1

\begin{array}{c|ccc|c}&1&&-1&-12\\ &&&& \\ 4&&&4& \\ \hline &1&&&\end{array}

Addizioniamo -1 e 4 e incolonniamo la somma sotto la linea orizzontale

\begin{array}{c|ccc|c}&1&&-1&-12\\ &&&& \\ 4&&&4& \\ \hline &1&&3&\end{array}

Moltiplichiamo 4 e 3 e incolonniamo il risultato sotto il termine noto del dividendo

\begin{array}{c|ccc|c}&1&&-1&-12\\ &&&& \\ 4&&&4&12 \\ \hline &1&&3&\end{array}

Eseguiamo la somma tra -12 e 12 e riportiamo il risultato sotto la linea di separazione

\begin{array}{c|ccc|c}&1&&-1&-12\\ &&&& \\ 4&&&4&12 \\ \hline &1&&3&//\end{array}

Abbiamo completato la tabella di Ruffini, però non abbiamo ancora finito l'esercizio: bisogna estrapolare il quoziente e il resto della divisione.

I coefficienti della terza riga compresi tra le linee verticali sono i coefficienti del quoziente, ordinati secondo le potenze decrescenti dell'incognita: 1 è il coefficiente di x e 3 rappresenta il termine noto del quoziente, pertanto

Q(x)=x+3

L'ultimo elemento della terza riga è proprio il resto della divisione che, almeno in questa circostanza, è nullo:

R=0

Per controllare la correttezza dei risultati, è sufficiente verificare che la somma tra il resto e il prodotto tra divisore e quoziente sia uguale al dividendo. In simboli matematici:

Q(x)D(x)+R=N(x)

Nel nostro caso, l'espressione al primo membro diventa

(x+3)(x-4)+0=(x+3)(x-4)=

Svolgiamo il prodotto tra i due polinomi

=x^2-4x+3x-12=

e sommiamo i monomi simili

=x^2-x-12=N(x)

Il polinomio ottenuto coincide in tutto e per tutto con il dividendo, pertanto possiamo affermare con certezza che il polinomio quoziente e il resto sono corretti.

Abbiamo finito.
Ringraziano: Galois
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Os