Equazione trigonometrica con formule trigonometriche

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Equazione trigonometrica con formule trigonometriche #57449

avt
FAQ
Punto
Mi servirebbe il vostro aiuto per ricavare le soluzioni di un'equazione goniometrica caratterizzata dalla presenza di seni e coseno con gli argomenti diversi. Secondo il mio insegnante, dovrei usare le formule di prostaferesi, solo che non ci riesco.

Usare le opportune formule trigonometriche per calcolare le soluzioni della seguente equazione goniometrica

\cos(4x)-\cos(2x)=\sin(3x)

Grazie.
 
 

Equazione trigonometrica con formule trigonometriche #57799

avt
Omega
Amministratore
Per risolvere l'equazione goniometrica in seno e coseno

\cos(4x)-\cos(2x)=\sin(3x)

possiamo avvalerci delle formule di prostaferesi che consente di esprimere la differenza di coseni nel doppio prodotto di seni:

\cos(a)-\cos(b)=-2\sin\left(\frac{a+b}{2}\right)\sin\left(\frac{a-b}{2}\right) \ \ \ \mbox{per ogni} \ a,\ b\in\mathbb{R}

Questa formula consente di scrivere l'uguaglianza:

\\ \cos(4x)-\cos(2x)=-2\sin\left(\frac{4x+2x}{2}\right)\sin\left(\frac{4x-2x}{2}\right)= \\ \\ \\ =-2\sin(3x)\sin(x)

attraverso cui l'equazione si semplifica in:

-2\sin(3x)\sin(x)=\sin(3x)

Portando al primo membro \sin(3x) e cambiando in seguito i segni, ricaviamo:

\sin(3x)+2\sin(3x)\sin(x)=0

Operiamo il raccoglimento del fattore comune \sin(3x)

\sin(3x)(1+2\sin(x))=0

dopodiché usiamo la legge di annullamento del prodotto, che ci permette di scrivere le equazioni:

\sin(3x)=0 \ \ \ \vee \ \ \ 1+2\sin(x)=0

Analizziamole singolarmente partendo dalla prima:

\sin(3x)=0

le cui soluzioni si ottengono ricordando che il seno di un angolo è zero se l'angolo è nella forma k\pi, al variare di k nell'insieme dei numeri interi, pertanto:

3x=k\pi \ \ \ \to \ \ \ x=\frac{k\pi}{3} \ \ \ \mbox{con} \ k\in\mathbb{Z}

Occupiamoci della seconda, non prima di averla espressa in forma canonica:

1+2\sin(x)=0 \ \ \ \to \ \ \ \sin(x)=-\frac{1}{2}

Aiutandoci con la circonferenza goniometrica e sfruttando la periodicità del seno, scopriamo che le famigli che la soddisfano sono:

x=\frac{7\pi}{6}+2k\pi \ \ \ \vee \ \ \ x=\frac{11\pi}{6}+2k\pi

al variare del parametro k nell'insieme dei numeri interi.

Possiamo, pertanto, concludere che le famiglie che soddisfano l'equazione

\cos(4x)-\cos(2x)=\sin(3x)

sono

x=\frac{k\pi}{3} \ \ \ , \ \ \ x=\frac{7\pi}{6}+2k\pi \ \ \ , \ \ \ x=\frac{11\pi}{6}+2k\pi

con k\in\mathbb{Z}.
Ringraziano: Ifrit, CarFaby
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