Equazione trigonometrica con formule trigonometriche

Mi servirebbe il vostro aiuto per ricavare le soluzioni di un'equazione goniometrica caratterizzata dalla presenza di seni e coseno con gli argomenti diversi. Secondo il mio insegnante, dovrei usare le formule di prostaferesi, solo che non ci riesco.

Usare le opportune formule trigonometriche per calcolare le soluzioni della seguente equazione goniometrica



Grazie.

Per risolvere l'equazione goniometrica in seno e coseno



possiamo avvalerci delle formule di prostaferesi che consente di esprimere la differenza di coseni nel doppio prodotto di seni:



Questa formula consente di scrivere l'uguaglianza:



attraverso cui l'equazione si semplifica in:



Portando al primo membro e cambiando in seguito i segni, ricaviamo:



Operiamo il raccoglimento del fattore comune



dopodiché usiamo la legge di annullamento del prodotto, che ci permette di scrivere le equazioni:



Analizziamole singolarmente partendo dalla prima:



le cui soluzioni si ottengono ricordando che il seno di un angolo è zero se l'angolo è nella forma , al variare di nell'insieme dei numeri interi, pertanto:



Occupiamoci della seconda, non prima di averla espressa in forma canonica:



Aiutandoci con la circonferenza goniometrica e sfruttando la periodicità del seno, scopriamo che le famigli che la soddisfano sono:



al variare del parametro nell'insieme dei numeri interi.

Possiamo, pertanto, concludere che le famiglie che soddisfano l'equazione



sono



con .