Equazione letterale fratta con due parametri

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#57434
avt
Daddy91
Punto

Devo risolvere un'esercizio sulle equazioni parametriche fratte di primo grado con due parametri, discutendo tutti i casi possibili. Potreste aiutarmi?

Data l'equazione parametrica fratta di primo grado nei parametri a e b

(ax−b−bx)/(x) = (x−a)/(x)−1

Discutere l'esistenza delle soluzioni al variare dei due parametri, esplicitando l'insieme delle soluzioni quando possibile.

Grazie

#57436
avt
Amministratore

Consideriamo

(ax−b−bx)/(x) = (x−a)/(x)−1

Essa è un'equazione parametrica fratta di primo grado con due parametri, a e b. Il nostro compito consiste nel discutere l'esistenza delle soluzioni al variare dei parametri nell'insieme dei numeri reali.

Il primo passo consiste nell'imporre le condizioni di esistenza, richiedendo che i denominatori contenenti l'incognita siano diversi da zero: non è possibile dividere per zero.

C.E.: x ne 0

Scriviamo l'equazione in forma normale, riportando tutti i termini al primo membro e determinando in seguito il minimo comune multiplo tra i polinomi al denominatore

 (ax−b−bx)/(x)−(x−a)/(x)+1 = 0 ; (ax−b−bx−x+a+x)/(x) = 0

Sotto la condizione x ne 0, possiamo cancellare il denominatore, ricavando così l'equazione equivalente:

ax−b−bx−x+a+x = 0

che, sommati i termini simili, si riscrive come:

(a−b)x−b+a = 0

Trasportiamo gli addendi senza l'incognita al secondo membro, ottenendo così:

(a−b)x = b−a

Ora possiamo iniziare la discussione che avviene in base alla nullità o meno del coefficiente di x:

- se a−b = 0, ossia se a = b, l'equazione diventa

(b−b)x = (b−b) → 0·x = 0 → 0 = 0

da cui deduciamo che essa è un'equazione indeterminata, più precisamente un'identità condizionata dal vincolo di esistenza x ne 0;

- se a−b ne 0, ossia se a ne b, il coefficiente di x è non nullo, dunque siamo autorizzati a dividere per a−b i membri dell'equazione, ricavando così:

x = (b−a)/(a−b) → x = −1

Poiché −1 ne 0, la soluzione è accettabile.

Traiamo le conclusioni:

- se a = b, l'equazione è indeterminata, soddisfatta da x ne 0;

- se a ne b, l'equazione è determinata, con soluzione x = −1.

Ecco fatto!

Ringraziano: CarFaby
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