Equazione letterale fratta con due parametri

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Equazione letterale fratta con due parametri #57434

avt
Daddy91
Punto
Devo risolvere un'esercizio sulle equazioni parametriche fratte di primo grado con due parametri, discutendo tutti i casi possibili. Potreste aiutarmi?

Data l'equazione parametrica fratta di primo grado nei parametri a\ \mbox{e} \ b

\frac{ax-b-bx}{x}=\frac{x-a}{x}-1

Discutere l'esistenza delle soluzioni al variare dei due parametri, esplicitando l'insieme delle soluzioni quando possibile.

Grazie
 
 

Equazione letterale fratta con due parametri #57436

avt
Omega
Amministratore
Consideriamo

\frac{ax-b-bx}{x}=\frac{x-a}{x}-1

Essa è un'equazione parametrica fratta di primo grado con due parametri, a\ \mbox{e} \ b. Il nostro compito consiste nel discutere l'esistenza delle soluzioni al variare dei parametri nell'insieme dei numeri reali.

Il primo passo consiste nell'imporre le condizioni di esistenza, richiedendo che i denominatori contenenti l'incognita siano diversi da zero: non è possibile dividere per zero.

C.E.: x\ne 0

Scriviamo l'equazione in forma normale, riportando tutti i termini al primo membro e determinando in seguito il minimo comune multiplo tra i polinomi al denominatore

\\ \frac{ax-b-bx}{x}-\frac{x-a}{x}+1=0 \\ \\ \\ \frac{ax-b-bx-x+a+x}{x}=0

Sotto la condizione x\ne 0, possiamo cancellare il denominatore, ricavando così l'equazione equivalente:

ax-b-bx-x+a+x=0

che, sommati i termini simili, si riscrive come:

(a-b)x-b+a=0

Trasportiamo gli addendi senza l'incognita al secondo membro, ottenendo così:

(a-b)x=b-a

Ora possiamo iniziare la discussione che avviene in base alla nullità o meno del coefficiente di x:

- se a-b=0, ossia se a=b, l'equazione diventa

(b-b)x=(b-b) \ \ \to \ \ 0\cdot x=0 \ \ \to \ \ 0=0

da cui deduciamo che essa è un'equazione indeterminata, più precisamente un'identità condizionata dal vincolo di esistenza x\ne 0;

- se a-b\ne 0, ossia se a\ne b, il coefficiente di x è non nullo, dunque siamo autorizzati a dividere per a-b i membri dell'equazione, ricavando così:

x=\frac{b-a}{a-b} \ \ \to \ \ x=-1

Poiché -1\ne 0, la soluzione è accettabile.

Traiamo le conclusioni:

- se a=b, l'equazione è indeterminata, soddisfatta da x\ne 0;

- se a\ne b, l'equazione è determinata, con soluzione x=-1.

Ecco fatto!
Ringraziano: CarFaby
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Os