Equazione letterale fratta con due parametri

Devo risolvere un'esercizio sulle equazioni parametriche fratte di primo grado con due parametri, discutendo tutti i casi possibili. Potreste aiutarmi?

Data l'equazione parametrica fratta di primo grado nei parametri



Discutere l'esistenza delle soluzioni al variare dei due parametri, esplicitando l'insieme delle soluzioni quando possibile.

Grazie

Consideriamo



Essa è un'equazione parametrica fratta di primo grado con due parametri, . Il nostro compito consiste nel discutere l'esistenza delle soluzioni al variare dei parametri nell'insieme dei numeri reali.

Il primo passo consiste nell'imporre le condizioni di esistenza, richiedendo che i denominatori contenenti l'incognita siano diversi da zero: non è possibile dividere per zero.



Scriviamo l'equazione in forma normale, riportando tutti i termini al primo membro e determinando in seguito il minimo comune multiplo tra i polinomi al denominatore



Sotto la condizione , possiamo cancellare il denominatore, ricavando così l'equazione equivalente:



che, sommati i termini simili, si riscrive come:



Trasportiamo gli addendi senza l'incognita al secondo membro, ottenendo così:



Ora possiamo iniziare la discussione che avviene in base alla nullità o meno del coefficiente di :

- se , ossia se , l'equazione diventa



da cui deduciamo che essa è un'equazione indeterminata, più precisamente un'identità condizionata dal vincolo di esistenza ;

- se , ossia se , il coefficiente di è non nullo, dunque siamo autorizzati a dividere per i membri dell'equazione, ricavando così:



Poiché , la soluzione è accettabile.

Traiamo le conclusioni:

- se , l'equazione è indeterminata, soddisfatta da ;

- se , l'equazione è determinata, con soluzione .

Ecco fatto!