Disequazione goniometrica fratta

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Disequazione goniometrica fratta #57421

avt
Tux191
Punto
Buonasera! emt Svolgendo questa disequazione goniometrica fratta non riesco a giungere alla soluzione data da:

\frac{\pi}{6}+2k \pi \leq x \leq \frac{7}{6} \pi+2k \pi

con x \neq \frac{\pi}{2}+k \pi.

La disequazione in questione è:

\frac{\sqrt{3}\sin{\left(x\right)}-\cos{\left(x\right)}}{1-\sin^2{\left(x\right)}} \geq 0

scrivo il denominatore come \cos^2{\left(x\right)}

faccio il campo di esistenza \cos^2{\left(x\right)}\neq 0 che diventa x\neq {\pi}/2+k{\pi}

Ora studio i segni:

DENOMINATORE \cos^2{\left(x\right)}>0 che diventa 2{\pi}+2k{\pi}\geq x\geq 0+2k{\pi} con x\neq {\pi}/2+k{\pi}.

Adesso viene il problema: NUMERATORE

\sqrt{3}\sin{\left(x\right)}-\cos{\left(x\right)}\geq 0

come faccio a trovare gli intervalli delle x?
Grazie
 
 

Re: Disequazione goniometrica fratta #57432

avt
Galois
Coamministratore
Ciao Tux91 emt

Sei di fronte ad una disequazione fratta:

\frac{\sqrt{3} \sin(x) - \cos(x)}{1- \sin(x)} \geq 0

Quindi puoi direttamente studiare il segno di numeratore e denominatore, ponendo:

\sqrt{3} \sin(x) - \cos(x) \geq 0

e

1- \sin^2(x) > 0

Sei ora di fronte a due disequazioni goniometriche (leggimi!)

La seconda:

1 - \sin^2(x) > 0 ha risoluzione immediata. Infatti:

1 - \sin^2(x) = \cos^2(x)

e

\cos^2(x) > 0

per ogni x \in \mathbb{R}, \ x \neq \frac{\pi}{2} + k \pi, \ k \in \mathbb{Z}

che sono i valori che rendono il coseno di x uguale a 0

Per quanto riguarda la prima:

\sqrt{3} \sin(x) - \cos(x) \geq 0

Puoi dividere per \cos(x) dopo aver posto:

x \in \mathbb{R}, \ x \neq \frac{\pi}{2} + k \pi, \ k \in \mathbb{Z}

(che sono i valori che annullano il coseno) e ottenere:

\sqrt{3} \tan(x) \geq 1

ovvero:

\tan(x) \geq \frac{1}{\sqrt{3}}

da risolvere come spiegato nella lezione che ti ho linkato emt


Fatto ciò, basta ora "mettere insieme" le due soluzioni e ottenere proprio quelle indicate da te emt


[Mod]Quando scrivi le formule devi fare una scelta. O utilizzare il LaTeX e quindi scrivere le frazioni con \frac{Numeratore}{Denominatore}, il pigreco come \pi, il maggiore o uguale con \geq.. e così via.. come spiegato qui: come scrivere le formule in LaTeX, oppure scriverle (essendo chiaro) senza. Per intenderci, non puoi, ad esempio, utilizzare il simbolo π all'interno dei tags.. esso infatti non verrebbe decifrato [/Mod]
Ringraziano: Omega, Ifrit
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Os