Svolgere equazione fratta di primo grado

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Svolgere equazione fratta di primo grado #57313

avt
ermagnus95
Frattale
Come posso risolvere la seguente equazione fratta di prim grado in cui compaiono i radicali? Ho tentato di risolverla utilizzando le proprietà delle radici senza riuscire a ottenere la stessa soluzione del libro

Scrivere esplicitamente l'insieme soluzione associato all'equazione fratta di primo grado

\frac{x^2+\sqrt{5}}{x^2-\sqrt{5}x}+\frac{1+\sqrt{5}}{\sqrt{5}-x}=\frac{x-1}{x}+\frac{\sqrt{5}x-2\sqrt{5}+2\sqrt{20}}{x^2-\sqrt{5}x}
 
 

Svolgere equazione fratta di primo grado #57337

avt
Ifrit
Ambasciatore
Dobbiamo risolvere l'equazione fratta di primo grado

\frac{x^2+\sqrt{5}}{x^2-\sqrt{5}x}+\frac{1+\sqrt{5}}{\sqrt{5}-x}=\frac{x-1}{x}+\frac{\sqrt{5}x-2\sqrt{5}+2\sqrt{20}}{x^2-\sqrt{5}x}

vale a dire dobbiamo determinare i numeri reali che realizzano l'uguaglianza una volta sostituiti all'incognita.

La presenza dei radicali non deve preoccuparci perché non modifica in alcun modo la strategia risolutiva generale.

Per prima cosa scomponiamo i denominatori partendo da x^2-\sqrt{5}x che può essere fattorizzato raccogliendo il fattore comune x

x^2-\sqrt{5}x=x(x-\sqrt{5})

Gli altri denominatori sono tutti polinomi di grado 1 quindi non possono essere scomposti. Riscriviamo quindi l'equazione con i denominatori scomposti

\frac{x^2+\sqrt{5}}{x(x-\sqrt{5})}+\frac{1+\sqrt{5}}{\sqrt{5}-x}=\frac{x-1}{x}+\frac{\sqrt{5}x-2\sqrt{5}+2\sqrt{20}}{x(x-\sqrt{5})}

Imponiamo le condizioni di esistenza, richiedendo che i denominatori contenenti l'incognita siano diversi da zero.

Il primo denominatore, che è lo stesso del quarto, è non nullo se e solo se

x(x-\sqrt{5})\ne 0

Analizziamo questa disuguaglianza avvalendoci della legge di annullamento del prodotto: il prodotto al primo membro è diverso da zero se e solo se entrambi i fattori che lo compongono sono non nulli

\\ x\ne 0 \\ \\ x-\sqrt{5}\ne0 \ \ \to \ \ x\ne\sqrt{5}

Occupiamoci del secondo denominatore

\sqrt{5}-x\ne0 \ \ \to \ \ x\ne\sqrt{5}

e del terzo

x\ne 0

Abbiamo le informazioni per esplicitare l'insieme di esistenza associato all'equazione

C.E.: \ x\ne 0 \ \wedge \ x\ne\sqrt{5}

dove \wedge indica il connettivo logico "e".

Senza perdere mai di vista l'insieme di esistenza, continuiamo con la risoluzione dell'equazione fratta trasportando tutti i termini al primo membro stando attenti ai segni

\frac{x^2+\sqrt{5}}{x(x-\sqrt{5})}+\frac{1+\sqrt{5}}{\sqrt{5}-x}-\frac{x-1}{x}-\frac{\sqrt{5}x-2\sqrt{5}+2\sqrt{20}}{x(x-\sqrt{5})}=0

e scriviamo le frazioni a denominatore comune calcolando il minimo comune multiplo tra i polinomi a denominatore

\frac{x^2+\sqrt{5}-(1+\sqrt{5})x-(x-1)(x-\sqrt{5})-(\sqrt{5}x-2\sqrt{5}+2\sqrt{20})}{x(x-\sqrt{5})}=0

Cancelliamo il denominatore e scriviamo l'equazione equivalente

x^2+\sqrt{5}-(1+\sqrt{5})x-(x-1)(x-\sqrt{5})-(\sqrt{5}x-2\sqrt{5}+2\sqrt{20})=0

Sviluppiamo i prodotti avvalendoci della regola dei segni se necessario

\\ x^2+\sqrt{5}-x-\sqrt{5}x-(x^2-\sqrt{5}x-x+\sqrt{5})-\sqrt{5}x+2\sqrt{5}-2\sqrt{20}=0 \\ \\ x^2+\sqrt{5}-x-\sqrt{5}x-x^2+\sqrt{5}x+x-\sqrt{5}-\sqrt{5}x+2\sqrt{5}-2\sqrt{20}=0

Sommiamo infine i termini simili, ricavando così l'equazione di primo grado

-\sqrt{5}x-2\sqrt{5}+2\sqrt{20}=0

che possiamo risolvere isolando i termini con l'incognita a sinistra dell'uguale e trasportando quelli senza al secondo cambiando i loro segni

-\sqrt{5}x=-2\sqrt{5}+2\sqrt{20}

Scriviamo il radicale \sqrt{20} come \sqrt{2^2\cdot 5} e trasportiamo fuori dalla radice 2:

-\sqrt{5}x=-2\sqrt{5}+2\cdot 2 \sqrt{5} \ \ \to \ \ -\sqrt{5}x=-2\sqrt{5}+4\sqrt{5}

A questo punto sommiamo i radicali simili

-\sqrt{5}x=2\sqrt{5}

cambiamo i segni membro a membro

\sqrt{5}x=-2\sqrt{5}

e dividiamo a destra e a sinistra per \sqrt{5}

x=-\frac{2\sqrt{5}}{\sqrt{5}}

Una volta ridotta la frazione ai minimi termini otteniamo

x=-2

Il valore ottenuto è soluzione dell'equazione perché soddisfa le condizioni di esistenza. Possiamo concludere che l'equazione è determinata e l'insieme soluzione è S=\{-2\}.

Abbiamo portato a termine il nostro compito.
Ringraziano: Galois, CarFaby
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Os