Equazione letterale fratta con parametro

Riscontro delle grossissime difficoltà nella risoluzione di equazioni parametriche fratte di primo grado, così tante che non so come risolvere nemmeno il seguente esercizio.

Data l'equazione parametrica fratta di primo grado



Discutere l'esistenza delle soluzioni al variare del parametro reale , e nel caso sia possibile, esplicitare l'insieme delle soluzioni.

Consideriamo l'equazione letterale di primo grado



Essa è chiaramente frazionaria perché l'incognita si manifesta anche al denominatore. Per prima cosa imponiamo le condizioni di esistenza, richiedendo che il denominatore sia diverso da zero: ricordiamo infatti che non è possibile dividere per zero.



Fatto ciò, riportiamoci alla forma normale, determinando il denominatore comune



Poiché abbiamo imposto che fosse diverso da zero, possiamo eliminare il denominatore, ricavando così l'equazione equivalente:



da cui



Iniziamo la discussione distinguendo due casi: il caso in cui il coefficiente di è zero e quello in cui non lo è.

Se , l'equazione si riduce a



Essa è un'equazione priva di incognite chiaramente impossibile.

Se , possiamo dividere i membri dell'equazione per , ottenendo la soluzione



Attenzione, l'esercizio non è ancora terminato. Dobbiamo infatti controllare che rispetti i vincoli dettati dalle condizioni di esistenza



L'ultima relazione è vera per ogni .

Ora disponiamo di tutte le informazioni necessarie per concludere l'esercizio:

- se , l'equazione è impossibile;

- se , l'equazione è determinata e ammette come unica soluzione .

Abbiamo finito!