Equazione letterale fratta con parametro

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Equazione letterale fratta con parametro #57245

avt
monica85
Punto
Riscontro delle grossissime difficoltà nella risoluzione di equazioni parametriche fratte di primo grado, così tante che non so come risolvere nemmeno il seguente esercizio.

Data l'equazione parametrica fratta di primo grado

\frac{1}{x}+a=0

Discutere l'esistenza delle soluzioni al variare del parametro reale a, e nel caso sia possibile, esplicitare l'insieme delle soluzioni.
Ringraziano: Omega
 
 

Equazione letterale fratta con parametro #57477

avt
Omega
Amministratore
Consideriamo l'equazione letterale di primo grado

\frac{1}{x}+a=0

Essa è chiaramente frazionaria perché l'incognita si manifesta anche al denominatore. Per prima cosa imponiamo le condizioni di esistenza, richiedendo che il denominatore sia diverso da zero: ricordiamo infatti che non è possibile dividere per zero.

C.E.: x\ne 0

Fatto ciò, riportiamoci alla forma normale, determinando il denominatore comune

\frac{1+ax}{x}=0

Poiché abbiamo imposto che x fosse diverso da zero, possiamo eliminare il denominatore, ricavando così l'equazione equivalente:

1+ax=0

da cui

ax=-1

Iniziamo la discussione distinguendo due casi: il caso in cui il coefficiente di x è zero e quello in cui non lo è.

Se a=0, l'equazione si riduce a

0\cdot x =-1 \ \ \to \ \ 0=-1

Essa è un'equazione priva di incognite chiaramente impossibile.

Se a\ne 0, possiamo dividere i membri dell'equazione per a, ottenendo la soluzione

x=-\frac{1}{a}

Attenzione, l'esercizio non è ancora terminato. Dobbiamo infatti controllare che x=-\frac{1}{a} rispetti i vincoli dettati dalle condizioni di esistenza

x\ne 0 \ \  \to \ \ -\frac{1}{a}\ne 0

L'ultima relazione è vera per ogni a\ne 0.

Ora disponiamo di tutte le informazioni necessarie per concludere l'esercizio:

- se a=0, l'equazione è impossibile;

- se a\ne 0, l'equazione è determinata e ammette come unica soluzione x=-\frac{1}{a}.

Abbiamo finito!
Ringraziano: Galois, CarFaby, monica85
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Os