Disequazione goniometrica non elementare

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Disequazione goniometrica non elementare #57195

avt
Tux191
Punto
Ciao, avrei bisogno di risolvere questa disequazione goniometrica non elementare con tangente e coseno

\sqrt{2}\cos{\left(x\right)-\tan{\left(x\right)}}\geq 0\mbox{ con }-\pi\leq x\leq \pi

Procedo scrivendo la tangente come \frac{\sin\left(x\right)}{\cos\left(x\right)}, faccio il minimo comune multiplo (con annesso campo di esistenza ovvero \cos{\left(x\right)}\neq 0 e ottengo:

\sqrt{2}\cos^2{\left(x\right)-\sin{\left(x\right)}}\geq0

da qui non riesco ad andare avanti con lo svolgimento...
 
 

Re: Disequazione goniometrica non elementare #57217

avt
Ifrit
Amministratore
Ciao Tux191 emt

La disequazione di partenza però non è equivalente a questa :(

\sqrt{2}\cos^2(x)-\sin(x)\ge 0\mbox{ con }\cos(x)\ne 0

questo perché, una volta determinato il minimo comun denominatore, la disequazione diventa:

\frac{\sqrt{2}\cos^2 (x)-\sin(x)}{\cos(x)}\ge 0

A rigore dovresti studiare il segno del numeratore e del denominatore e poi, tramite la tabella dei segni, considerare la parte che ci interessa emt

Studiamo il segno del denominatore, tenendo conto del vincolo -\pi\le x\le \pi

E' una disequazione goniometrica elementare

\cos(x)>0\implies -\frac{\pi}{2}<x<\frac{\pi}{2}.


Studiamo il segno del numeratore

Utilizza la relazione fondamentale della goniometria, grazie alla quale puoi scrivere:

\cos^2(x)= 1-\sin^2(x)

La disequazione:

\sqrt{2}\cos^2(x)-\sin(x)\ge 0

diventerà

\sqrt{2}(1-\sin^2(x))-\sin(x)\ge 0

Poniamo t=\sin(x):

\sqrt{2}-\sqrt{2}t^2-t\ge 0

questa è una normale disequazione di secondo grado in t, che risolta conduce a:

-\sqrt{2}\le t\le\frac{1}{\sqrt{2}}

ma la nostra t è sin(x), quindi:

-\sqrt{2}\le \sin(x)\le \frac{1}{\sqrt{2}}\mbox{ con }-\pi\le x\le \pi


Questa catena di disequazioni equivale al sistema:

\begin{cases}\sin(x)\ge -\sqrt{2}\quad (1)\\ \sin(x)\le \frac{1}{\sqrt{2}}\quad (2)\end{cases}

La disequazione (1) è sempre soddisfatta

La disequazione (2) è soddisfatta per -\pi\le x\le \frac{\pi}{4}\vee \frac{3}{4}\pi\le x \le \pi.

Adesso tabula i segni del numeratore e del denominatore e prendi in considerazione solo la parte positiva o nulla, stando attento ai valori che annullano il coseno. emt
Ringraziano: Omega, Galois, Tux191
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Os