Esercizio disequazione esponenziale fratta

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Esercizio disequazione esponenziale fratta #57192

avt
Jace
Punto
Salve a tutti, ieri stavo svolgendo una delle disequazioni esponenziali fratte lasciate dal professore per la prossima lezione. Uno di questi non mi riesce, o meglio, i calcoli sono giusti ma manca qualcosa. Ecco il testo dell'esercizio:

\frac{3^{x+1}-3^{1-x}}{1-2^{x^{2}-1}}\geq 0


Ho diviso il numeratore e il denominatore. Ho imposto N\geq 0 che sarà

3^{x+1}-3^{1-x}\geq 0\ \Rightarrow\ 3^{x+1}\geq 3^{1-x}.


Siccome le basi delle potenze sono le stesse e maggiori di 1, metto al primo membro l'esponente della potenza del primo membro, al secondo membro l'esponente della potenza del secondo membro e mantengo il verso della disequazione. In poche parole, ottengo:

x+1\geq 1-x\ \Rightarrow\ x\geq 0
.

Poi ho imposto D>0 che sarà

1-2^{x^{2}-1}>0\ \Rightarrow\ 2^{0}>2^{x^{2}-1}.


Siccome le basi delle potenze sono le stesse e maggiori di 1, metto al primo membro l'esponente della potenza del primo membro, al secondo membro l'esponente della potenza del secondo membro e mantengo il verso della disequazione. Ottengo:

0>x^{2}-1


La soluzione di tale disequazione è x<-1 \vee x>1.

Svolgo il calcolo del segno tra N e D e prendo in considerazione le soluzioni che mi danno valori positivi o nulli, come richiesto dal verso della disequazione iniziale. Cioè, la soluzione della disequazione sarà

x<-1 \vee 0\leq x<1.


Ma il libro mi dà come soluzione 0\leq x<1, escludendo x<-1.

Ho provato a sostituire a x il valore -2, che fa parte dell'intervallo ]-\infty; -1[ (cioè quello escluso dal libro), per vedere se la disequazione riusciva, ma non è stato così.

Quindi vi chiedo: cosa ho sbagliato (o ho dimenticato di fare)?
Vi ringrazio anticipatamente per le risposte :)
Jace
 
 

Esercizio disequazione esponenziale fratta #57214

avt
Omega
Amministratore
Ciao Jace emt purtroppo sei scivolato su una buccia di banana: il metodo di risoluzione per la disequazione fratta è corretto, come pure è corretto il metodo applicato per le disequazioni esponenziali...Purtroppo sei scivolato con un errore di distrazione e non di metodo. :( Da

2^0>2^{x^2-1}

si ricava

0>x^2-1

cioè, leggendo la disequazione da destra verso sinistra

x^2-1<0

per cui il denominatore è positivo per -1<x<+1.


La disequazione ammette come soluzioni x<-1\ \vee\ 0\leq x<1, la soluzione del libro è sbagliata. Se vuoi avere la conferma al 1000% puoi dare un'occhiata qui: disequazioni online.

Nota che x=-2 verifica la disequazione:

\frac{3^{-1}-3^{3}}{1-2^{4-1}}=\frac{\frac{1}{3}-27}{1-8}\geq 0

sia il numeratore che il denominatore sono negativi, il loro rapporto è dunque positivo. emt


Attenzione: hai commesso anche un errore nell'errore, in particolare nella lettura dei segni. Se avessimo avuto il numeratore positivo per x\geq 0 e il denominatore positivo per x<-1\ \vee\ x>+1, allora la disequazione avrebbe avuto soluzioni date da -1<x\leq 0\ \vee\ x> 1.
Ringraziano: Ifrit, Galois, Manuel1990, Jace

Esercizio disequazione esponenziale fratta #57376

avt
Jace
Punto
Scusami, ho commesso un errore di trascrizione. Nel quaderno ho scritto una cosa, qui un'altra xD Cioè, il campo di valori di x che avevo trovato per D era -1<x<+1 (come hai fatto tu). La soluzione, quindi, risulta quella che avevo trovato all'inizio.
(Dannato libro, non capisco perché omette alcune soluzioni)
Comunque, per la verifica che ho fatto con x=-2: un piccolo errore di segno che mi ha portato a scrivere qui emt

Grazie mille per l'aiuto che mi hai dato emt

-Jace

Esercizio disequazione esponenziale fratta #57385

avt
Omega
Amministratore
Tutto ok! emt
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Os