Trovare il divisore in una divisione tra polinomi

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Trovare il divisore in una divisione tra polinomi #57169

avt
Lana
Cerchio
Ciao a tutti emt ho un piccolo problema con un esercizio sulla divisione tra polinomi in cui devo determinare il divisore conoscendo tutto il resto. La domanda è:

in una divisione tra polinomi il dividendo è 2x^4 - x^3 - x^2 + 2x + 1, il quoziente è
2x^2 - x + 1 ed il resto è x + 2. Qual è il divisore?

Io ho proceduto così:

Ho considerato questa "formula":

p(x) : d(x) = q(x) + r(x)

Qui avevo un dubbio. Mi chiede il divisore, per cui penso che mi chieda d(x).

Quindi se:

(2x^4 - x^3 - x^2 + 2x + 1) : d(x) = (2x^2 - x * 1) + (x+2)

Stando alla "formula":

p(x)= q(x) . d(x) + r(x)

Allora:

d(x)= p(x) : q(x) + r(x)

Quindi:

d(x)= ( 2x^4 - x^3 - x^2 + 2x + 1) : (2x^2 - x + 1) + (x + 2)

Volevo chiedere se è giusto come faccio.
Sinceramente non sono bene in chiaro cosa è il divisore e cosa è il dividendo.

Grazie a tutti!
 
 

Trovare il divisore in una divisione tra polinomi #57175

avt
Galois
Coamministratore
Ciao Lana emt

Dati:

quoziente [ che indichiamo con q(x) ]

q(x)=2x^2 - x + 1

resto [ che indichiamo con r(x) ]

r(x)=x + 2

dividendo [ che indichiamo con p(x) ]

p(x)=2x^4 - x^3 - x^2 + 2x + 1

devi trovare il divisore [ d(x) ] della divisione tra polinomi

Ho considerato questa "formula":

p(x) : d(x) = q(x) + r(x)


Attenzione! Questa formula non è corretta! Pensa al caso numerico. Ad esempio:

14:5 = 2 , \ resto \ 4

Da quello che scrivi tu (dividendo (14) diviso divisore (5) è uguale a quoziente(2) più resto (4)), ma come ben puoi vedere, non è vero che 14: 5=2+ 4

La formula corretta da utilizzare la trovi nella lezione di cui al link e, per farla breve è:

Dividendo = (divisore per quoziente) + resto, ovvero, con le nostre notazioni:

(*) \ p(x) = [d(x) \cdot q(x)] + r(x)

e da questa formula dobbiamo ricavare d(x). Come facciamo?

Portiamo r(x) a primo membro:

p(x) - r(x) = d(x) \cdot q(x)

dividiamo per q(x)

\frac{p(x)-r(x)}{q(x)}=d(x)

e quindi:

d(x)=\frac{p(x)-r(x)}{q(x)}

Ora:

p(x)-r(x)=2x^4 - x^3 - x^2 + x - 1

q(x)=2x^2 - x + 1

e quindi, per trovare d(x) devi eseguire la divisione tra questi ultimi due polinomi, ottenendo:

d(x)=x^2-1

Per verificare i risultati puoi utilizzare tool per la divisione tra polinomi
Ringraziano: Lana
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Os