Equazione di primo grado con due parametri fratti

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Equazione di primo grado con due parametri fratti #57158

avt
Marta00
Banned
Riscontro delle grosse difficoltà con le equazioni letterali di primo grado con due parametri, soprattutto quando questi si trovano a denominatore. Ecco perché vi propongo un esempio di esercizio che non sono in grado di risolvere.

Discutere al variare dei parametri reali a\ \mbox{e} \ b la seguente equazione letterale di primo grado

\frac{x+b}{a}-\frac{a-x}{b}=0

Esplicitare l'insieme delle soluzioni, nel caso sia possibile.

Grazie.
 
 

Equazione di primo grado con due parametri fratti #57163

avt
Omega
Amministratore
\frac{x+b}{a}-\frac{a-x}{b}=0

è un'equazione letterale di primo grado con due parametri che si manifestano al denominatore. Per prima cosa, dobbiamo richiedere che i denominatori che contengono i parametri siano non nulli: se lo fossero, l'equazione perderebbe di significato, perché non è possibile dividere per zero.

C.E.: a\ne 0 \ \wedge \ b\ne 0

Sotto i vincoli delle condizioni di esistenza, possiamo continuare la discussione. Calcoliamo il minimo comune multiplo tra i polinomi a\ \mbox{e} \ b

\frac{b(x+b)-a(a-x)}{ab}=0

Cancelliamo il denominatore e svolgiamo le operazioni

bx+b^2-a^2+ax=0

A questo punto trasportiamo i termini senza l'incognita al secondo membro

bx+ax=a^2-b^2

e osserviamo che il termine a^2-b^2 può essere fattorizzato perché è una differenza di quadrati

(a+b)x=(a+b)(a-b)

Ora siamo in grado di iniziare la discussione, che dipenderà dalla nullità o meno del coefficiente di x.

Se a+b=0, vale a dire se a=-b, l'equazione diventa un'identità

(-b+b)x=(-b+b)(-b-b) \ \ \to \ \ 0=0

in tal caso diremo che l'equazione è indeterminata perché soddisfatta per ogni x.

Se a+b\ne 0, ossia se a\ne -b, il coefficiente di x è non nullo, di conseguenza possiamo dividere i due membri per a+b ricavando così la soluzione

x=\frac{(a+b)(a-b)}{(a+b)}\ \ \to \ \ x=a-b

dove nell'ultimo passaggio abbiamo semplificato la frazione algebrica.

L'analisi è terminata, bisogna solamente scrivere per bene le conclusioni:

- se a=0\ \vee \ b=0, l'equazione perde di significato;

- se a=-b\ne 0, l'equazione è indeterminata, infatti è soddisfatta per ogni valore di x;

- se a\ne 0 \ \wedge \ b\ne 0 \ \wedge a\ne -b, l'equazione è determinata e ammette come unica soluzione

x=a-b

La discussione ora è completa.
Ringraziano: Pi Greco, Ifrit, matteo, Galois
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Os