Equazione parametrica fratta con due parametri

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Equazione parametrica fratta con due parametri #57019

avt
Christian1988
Cerchio
Riscontro delle difficoltà nella risoluzione di un'equazione letterale fratta con due parametri. Il problema risiede essenzialmente nella discussione che non riesco a fare a causa dei due parametri.

Discutere la seguente equazione letterale fratta di primo grado, esplicitando l'insieme delle soluzioni al variare dei due parametri reali a\ \mbox{e} \ b:

\frac{a}{x}=b

Grazie.
 
 

Equazione parametrica fratta con due parametri #57020

avt
Pi Greco
Kraken
Il nostro compito consiste nell'analizzare l'equazione letterale fratta di primo grado

\frac{a}{x}=b

al variare dei parametri a \ \mbox{e} \ b e, nel caso sia possibile, scrivere esplicitamente l'insieme delle soluzioni.

Per prima cosa imponiamo le condizioni di esistenza, richiedendo che il denominatore che contiene l'incognita sia diverso da zero: ricordiamo che in matematica non è possibile dividere per zero.

C.E.: x\ne 0

A questo punto, possiamo scrivere l'equazione in forma normale portando tutti i termini al primo membro e calcolando in seguito il denominatore comune

\\ \frac{a}{x}-b=0 \\ \\ \\ \frac{a-bx}{x}=0

Sotto la condizione x\ne 0, siamo autorizzati a cancellare il denominatore, ricavando così l'equazione

a-bx=0

da cui

-bx=-a \ \ \to \ \ bx=a

La discussione avviene in funzione del valore assunto dal coefficiente dell'incognita, vale a dire b:

- se b=0, ci riconduciamo a un'equazione priva di incognite

0\cdot x= a \ \ \to \ \ 0=a

La veridicità dell'ultima uguaglianza dipende essenzialmente dal valore attribuito ad a. Più precisamente:

- se a=0 ricaviamo un'identità, condizionata dal vincolo x\ne 0;

- se a\ne 0 ricaviamo invece un'equazione impossibile, dunque l'insieme delle soluzioni coincide con l'insieme vuoto.

Il caso b=0 è completo.

- Se b\ne 0, possiamo dividere i membri dell'equazione bx=a per b, ottenendo

x=\frac{a}{b}

Attenzione, dobbiamo controllare quando le soluzioni sono accettabili, richiedendo che x=\frac{a}{b} rispetti il vincolo x\ne 0, da cui

x\ne 0 \ \ \to \ \ \frac{a}{b}\ne 0 \ \ \to \ \ a\ne 0

Nel caso in cui a fosse uguale a zero, l'equazione di partenza si riscrive come

\frac{0}{x}=b \ \ \to \ \ 0=b

Otteniamo nuovamente un'equazione priva di incognite, la cui veridicità dipende dal valore assunto da b:

- se b=0 ricaviamo un'identità condizionata da x\ne 0;

- se b\ne 0, l'equazione è impossibile e l'insieme delle soluzioni è vuoto.

Sottolineiamo che eravamo già in possesso di tali informazioni, ma abbiamo preferito scrivere per esteso i casi per favorire la comprensione dell'esercizio.

L'analisi è conclusa, dobbiamo semplicemente scrivere per bene le conclusioni.

Se b=0 \ \wedge \ a=0, l'equazione è indeterminata con soluzioni x\ne 0.

Se b=0 \ \wedge \ a\ne 0, l'equazione è impossibile e l'insieme soluzione è vuoto.

Se b\ne 0 \ \wedge \ a\ne 0, l'equazione è determinata con soluzione

x=\frac{a}{b}

Abbiamo finito!
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Os