Esercizio equazione irrazionale con radice di indice dispari

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Esercizio equazione irrazionale con radice di indice dispari #56995

avt
Giusy99
Punto
Avrei bisogno di una mano per risolvere un'equazione irrazionale in cui compare una radice cubica. Da quello che ho capito non dovrei imporre alcuna condizione, però non so cosa fare dopo. Spero possiate aiutarmi

Data l'equazione irrazionale

\sqrt[3]{x^3+2x^2+8}=2

esplicitare il suo insieme soluzione.
 
 

Esercizio equazione irrazionale con radice di indice dispari #56998

avt
Galois
Coamministratore
Consideriamo l'equazione irrazionale

\sqrt[3]{x^3+2x^2+8}=2

e osserviamo sin da subito che è già espressa in forma normale, giacché il radicale è isolato al primo membro, e inoltre l'indice dell'unica radice è dispari: queste sono informazioni importanti perché individuano la strategia da seguire.

A differenza di quanto succede con le equazioni irrazionali in cui vi sono radici con indice pari, quelle in cui compaiono radici con indice dispari non richiedono alcun vincolo: nessuna condizione di esistenza, né di concordanza.

In questo caso è sufficiente elevare al cubo i membri dell'equazione, così facendo infatti saremo in grado di sbarazzarci della radice cubica

(\sqrt[3]{x^3+2x^2+8})^3=2^3

ottenendo, a conti fatti, la seguente equazione di grado superiore al secondo:

x^3+2x^2+8=8

vale a dire

x^3+2x^2=0

Per determinarne le soluzioni, scomponiamo il polinomio al primo membro usando il metodo del raccoglimento totale che consiste nel mettere in evidenza il fattore comune x^2

x^2(x+2)=0

A questo punto interviene la legge di annullamento del prodotto che consente di passare alle equazioni

x^2=0 \ \ \  , \ \ \ x+2=0

La prima è un'equazione monomia di secondo grado, che fornisce la soluzione (doppia) x=0. La seconda è invece un'equazione di primo grado, da cui ricaviamo la soluzione x=-2.

Proprio perché non ci sono vincoli, entrambi i valori sono accettabili, dunque possiamo concludere che l'equazione irrazionale

\sqrt[3]{x^3+2x^2+8}=2

è soddisfatta per

x=-2 \ \ \ ,  \ \ \ x=0

e dunque il suo insieme soluzione è S=\{-2,0\}.

Abbiamo terminato!
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