Equazione frazionaria di grado 1 con frazioni di frazioni

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Equazione frazionaria di grado 1 con frazioni di frazioni #56629

avt
Lana
Cerchio
Chiedo il vostro intervento per risolvere un'equazione fratta di primo grado in cui compare una frazione di frazioni, o come la chiama la mia insegnante frazioni a castello. Sinceramente non so come comportarmi in una situazione del genere.

Determinare l'insieme soluzione dell'equazione fratta di primo grado

\dfrac{\dfrac{x}{x+1}}{\dfrac{x+2}{2}}-\frac{4x+3}{x^2+3x+2}=0
 
 

Equazione frazionaria di grado 1 con frazioni di frazioni #56637

avt
Ifrit
Amministratore
Consideriamo l'equazione

\dfrac{\dfrac{x}{x+1}}{\dfrac{x+2}{2}}-\frac{4x+3}{x^2+3x+2}=0

Il nostro compito consiste nel determinare i possibili valori da attribuire all'incognita x che soddisfano l'uguaglianza. Sebbene sia presente una frazione di frazioni, il procedimento non si discosta molto da quello relativo alle equazioni fratte di primo grado.

Per prima cosa cerchiamo di scomporre il polinomio di secondo grado

x^2+3x+2

avvalendoci della tecnica di fattorizzazione relativa ai trinomi notevoli: andiamo alla ricerca di due numeri il cui prodotto coincide con il termine noto 2 e la cui somma è uguale al coefficiente di x, vale a dire 3. Tali numeri sono 2 e 1, ecco perché il trinomio si scompone come segue:

x^2+3x+2=(x+1)(x+2)

e l'equazione si può esprimere come

\dfrac{\dfrac{x}{x+1}}{\dfrac{x+2}{2}}-\frac{4x+3}{(x+1)(x+2)}=0

Proprio perché l'equazione è fratta dobbiamo imporre le opportune condizioni di esistenza, richiedendo che i denominatori che contengono l'incognita siano diversi da zero: ricordiamo infatti che non è possibile dividere per zero.

Richiederemo quindi che

x+1\ne 0 \ \ \ ;  \ \ \ \frac{x+2}{2}\ne 0 \ \ \ ; \ \ \ (x+1)(x+2)\ne 0

Dalla prima ricaviamo

x+1\ne 0 \ \ \to \ \ x\ne -1

Dalla seconda otteniamo invece

\frac{x+2}{2}\ne 0 \ \ \to \ \ x\ne -2

Per quanto concerne l'ultima relazione, facciamo intervenire la legge di annullamento del prodotto, la quale garantisce che il prodotto (x+1)(x+2) è non nullo se e solo se sono diversi da zero i fattori che lo compongono

(x+1)(x+2)\ne 0 \ \ \to \ \ x+1\ne 0 \ \wedge \ x+2\ne 0

da cui

x\ne -1 \ \wedge \ x\ne -2

dove \wedge è il connettivo logico che indica la congiunzione "e".

Possiamo affermare quindi che l'insieme di esistenza associato all'equazione è dettato dalle seguenti condizioni:

C.E.: \ x\ne -2\ \wedge \ x\ne -1

Procediamo con la risoluzione dell'equazione esprimendo in forma normale la frazione di frazioni: è sufficiente moltiplicare il numeratore principale per il reciproco del denominatore principale

\frac{x}{x+1}\cdot\frac{2}{x+2}-\frac{4x+3}{(x+1)(x+2)}=0

Eseguiamo la moltiplicazione tra le frazioni algebriche

\frac{2x}{(x+1)(x+2)}-\frac{4x+3}{(x+1)(x+2)}=0

e scriviamo il primo membro come un unico rapporto

\frac{2x-(4x+3)}{(x+1)(x+2)}=0

Sotto i vincoli del C.E., i principi di equivalenza ci permettono di cancellare il denominatore ricavando l'equazione equivalente

2x-(4x+3)=0

Usiamo la regola dei segni e sbarazziamoci delle parentesi tonde

2x-4x-3=0

Sommiamo i monomi simili

-2x-3=0

e risolviamo l'equazione di primo grado ottenuta, isolando l'incognita al primo membro

-2x=3 \ \ \to \ \ 2x=-3 \ \ \to \ \ x=-\frac{3}{2}

Abbiamo ottenuto una soluzione accettabile giacché x=-\frac{3}{2} rispetta i vincoli dettati dalle condizioni di esistenza, pertanto concludiamo che l'equazione è determinata e il suo insieme soluzione è S=\left\{-\frac{3}{2}\right\}.
Ringraziano: Lana
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Os