Divisione tra polinomi con parametro

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Divisione tra polinomi con parametro #56431

avt
FAQ
Punto
Ho bisogno del vostro aiuto per svolgere la divisione tra due polinomi a coefficienti letterali. Il mio professore mi ha detto che il procedimento coincide con quello per le divisioni polinomiali a coefficienti numerici, dal canto mio non capisco proprio come fare.

Eseguire la seguente divisione tra polinomi, considerando come variabile la lettera b

\left(-\frac{1}{2}b^3-b^2c^2+3bc^4-c^6\right):(b-c^2)

Grazie.
Ringraziano: Omega
 
 

Divisione tra polinomi con parametro #56916

avt
Ifrit
Ambasciatore
Il nostro compito consiste nello svolgere la divisione polinomiale

\left(-\frac{1}{2}b^3-b^2c^2+3bc^4-c^6\right):(b-c^2)

considerando come variabile b. Per semplificare la spiegazione, indichiamo con N(b) il dividendo

N(b)=-\frac{1}{2}b^3-b^2c^2+3bc^4-c^6

e con D(b) il polinomio divisore

D(b)=b-c^2

Osserviamo che sia N(b) che D(b) sono entrambi polinomi ordinati secondo le potenze decrescenti di b, inoltre sono anche polinomi completi rispetto alla lettera.

Dopo questo breve preambolo, possiamo disporre i polinomi nella tabella della divisione e innescare l'algoritmo.

\begin{array}{cccc|ccc}-\dfrac{1}{2}b^3&-b^2c^2&+3bc^4&-c^6&b&-c^2\\ \cline{5-7}&&&&&& \end{array}

Dividiamo il primo termine del dividendo per il primo termine del divisore

-\frac{1}{2}b^3:b=-\frac{1}{2}b^2

Esso rappresenta il primo termine del quoziente e va riportato sotto il polinomio divisore

\begin{array}{cccc|ccc}-\dfrac{1}{2}b^3&-b^2c^2&+3bc^4&-c^6&b&-c^2\\ \cline{5-7}&&&&-\dfrac{1}{2}b^2&& \end{array}

Moltiplichiamo -\frac{1}{2}b^2 per ciascun termine del binomio b-c^2 e incolonniamo i prodotti, cambiati di segno, sotto il dividendo

\begin{array}{cccc|ccc}-\dfrac{1}{2}b^3&-b^2c^2&+3bc^4&-c^6&b&-c^2\\ \cline{5-7}&&&&-\dfrac{1}{2}b^2&& \\ +\dfrac{1}{2}b^3&-\dfrac{1}{2}b^2c^2&&&&&\\ \cline{1-4}&&&&&&\end{array}

Sommiamo i termini simili e riportiamo i risultati sotto la linea di separazione

\begin{array}{cccc|ccc}-\dfrac{1}{2}b^3&-b^2c^2&+3bc^4&-c^6&b&-c^2\\ \cline{5-7}&&&&-\dfrac{1}{2}b^2&& \\ +\dfrac{1}{2}b^3&-\dfrac{1}{2}b^2c^2&&&&&\\ \cline{1-4}//&-\dfrac{3}{2}b^2c^2&+3bc^4&-c^6&&&\end{array}

Il grado del polinomio rispetto alla lettera b è 2 ed è maggiore del grado del polinomio divisore, per cui dobbiamo continuare a svolgere la divisione.

Dividiamo il primo termine del resto parziale per il primo termine del divisore

-\frac{3}{2}b^2c^2:b=-\frac{3}{2}bc^2

Esso rappresenta il secondo monomio che costituisce il polinomio quoziente. Riportiamolo nella tabella

\begin{array}{cccc|ccc}-\dfrac{1}{2}b^3&-b^2c^2&+3bc^4&-c^6&b&-c^2\\ \cline{5-7}&&&&-\dfrac{1}{2}b^2&-\dfrac{3}{2}bc^2& \\ +\dfrac{1}{2}b^3&-\dfrac{1}{2}b^2c^2&&&&&\\ \cline{1-4}//&-\dfrac{3}{2}b^2c^2&+3bc^4&-c^6&&&\end{array}

e moltiplichiamolo per ciascun termine del divisore, riportando i prodotti, cambiati di segno e incolonnati secondo gli esponenti di b, sotto il resto parziale

\begin{array}{cccc|ccc}-\dfrac{1}{2}b^3&-b^2c^2&+3bc^4&-c^6&b&-c^2\\ \cline{5-7}&&&&-\dfrac{1}{2}b^2&-\dfrac{3}{2}bc^2& \\ +\dfrac{1}{2}b^3&-\dfrac{1}{2}b^2c^2&&&&&\\ \cline{1-4}//&-\dfrac{3}{2}b^2c^2&+3bc^4&-c^6&&& \\&&&&&&\\ &+\dfrac{3}{2}b^2c^2&-\dfrac{3}{2}bc^4&&&&\\ \cline{2-4}&&&&&&\end{array}

Tiriamo le somme in colonna e riportiamo i risultati sotto la linea di separazione

\begin{array}{cccc|ccc}-\dfrac{1}{2}b^3&-b^2c^2&+3bc^4&-c^6&b&-c^2\\ \cline{5-7}&&&&-\dfrac{1}{2}b^2&-\dfrac{3}{2}bc^2& \\ +\dfrac{1}{2}b^3&-\dfrac{1}{2}b^2c^2&&&&&\\ \cline{1-4}//&-\dfrac{3}{2}b^2c^2&+3bc^4&-c^6&&& \\&&&&&&\\ &+\dfrac{3}{2}b^2c^2&-\dfrac{3}{2}bc^4&&&&\\ \cline{2-4}&//&+\dfrac{3}{2}bc^4&-c^6&&&\end{array}

Il grado del resto rispetto alla lettera b coincide con quello del grado del polinomio divisore, per cui bisogna continuare con l'algoritmo.

Eseguiamo la divisione tra i monomi \frac{3}{2}bc^4 e b

\frac{3}{2}bc^4:b=\frac{3}{2}c^4

e riportiamo il risultato nella tabella: è il terzo termine del quoziente.

\begin{array}{cccc|ccc}-\dfrac{1}{2}b^3&-b^2c^2&+3bc^4&-c^6&b&-c^2\\ \cline{5-7}&&&&-\dfrac{1}{2}b^2&-\dfrac{3}{2}bc^2&+\dfrac{3}{2}c^4 \\ +\dfrac{1}{2}b^3&-\dfrac{1}{2}b^2c^2&&&&&\\ \cline{1-4}//&-\dfrac{3}{2}b^2c^2&+3bc^4&-c^6&&& \\&&&&&&\\ &+\dfrac{3}{2}b^2c^2&-\dfrac{3}{2}bc^4&&&&\\ \cline{2-4}&//&+\dfrac{3}{2}bc^4&-c^6&&&\end{array}

A questo punto, ripetiamo esattamente lo stesso ragionamento precedente: moltiplichiamo {tex}\frac{3}{2}c^4{tex} per ciascun termine del divisore e scriviamo i prodotti, cambiati di segno e incolonnati secondo le potenze di b, sotto il resto parziale

\begin{array}{cccc|ccc}-\dfrac{1}{2}b^3&-b^2c^2&+3bc^4&-c^6&b&-c^2\\ \cline{5-7}&&&&-\dfrac{1}{2}b^2&-\dfrac{3}{2}bc^2&+\dfrac{3}{2}c^4 \\ +\dfrac{1}{2}b^3&-\dfrac{1}{2}b^2c^2&&&&&\\ \cline{1-4}//&-\dfrac{3}{2}b^2c^2&+3bc^4&-c^6&&& \\&&&&&&\\ &+\dfrac{3}{2}b^2c^2&-\dfrac{3}{2}bc^4&&&&\\ \cline{2-4}&//&+\dfrac{3}{2}bc^4&-c^6&&& \\ &&&&&& \\ &&-\dfrac{3}{2}bc^4&+\dfrac{3}{2}c^6\\ \cline{3-4}&&&&&&\end{array}

È giunto il momento di tirare le somme.

\begin{array}{cccc|ccc}-\dfrac{1}{2}b^3&-b^2c^2&+3bc^4&-c^6&b&-c^2\\ \cline{5-7}&&&&-\dfrac{1}{2}b^2&-\dfrac{3}{2}bc^2&+\dfrac{3}{2}c^4 \\ +\dfrac{1}{2}b^3&-\dfrac{1}{2}b^2c^2&&&&&\\ \cline{1-4}//&-\dfrac{3}{2}b^2c^2&+3bc^4&-c^6&&& \\&&&&&&\\ &+\dfrac{3}{2}b^2c^2&-\dfrac{3}{2}bc^4&&&&\\ \cline{2-4}&//&+\dfrac{3}{2}bc^4&-c^6&&& \\ &&&&&& \\ &&-\dfrac{3}{2}bc^4&+\dfrac{3}{2}c^6\\ \cline{3-4}&&//&+\dfrac{1}{2}c^6&&&\end{array}

Finalmente, il grado del resto è 0 ed è inferiore rispetto al grado del polinomio divisore, dunque l'algoritmo della divisione è giunto al termine. Dalla tabella ricaviamo che:

- il polinomio quoziente è

Q(b)=-\frac{1}{2}b^2-\frac{3}{2}bc^2+\frac{3}{2}c^4

- il polinomio resto è invece

R(b)=\frac{1}{2}c^6

Abbiamo terminato.
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