Equazione fratta e letterale di primo grado

Devo discutere un'equazione letterale fratta di primo grado con un solo parametro. Finora non ho riscontrato moltissime difficoltà, ma questa equazione presenta una differenza rispetto alle altre: la divisione tra frazioni algebriche. Ho bisogno del vostro aiuto per capire come risolverla.

Studiare la seguente equazione letterale fratta di primo grado al variare del parametro reale , esplicitando l'insieme delle soluzioni quando possibile.

Consideriamo l'equazione letterale fratta di primo grado



Il primo passaggio consiste nell'imporre le condizioni di esistenza: richiederemo la non nullità dei denominatori che contengono l'incognita o il parametro.



Analizziamo a parte l'ultima disuguaglianza



In tale situazione ci viene in soccorso il raccoglimento parziale, infatti è sufficiente raccogliere tra i primo due addendi e il segno tra gli ultimi due



e infine raccogliamo totalmente , ricavando la relazione



In virtù della legge di annullamento del prodotto, il prodotto al primo membro è non nullo se e solo se non sono nulli i fattori che lo compongono, ossia:



e



Attenzione, non abbiamo ancora finito! Ricordiamo che non è possibile dividere per zero, ecco perché dobbiamo richiedere che il divisore al primo membro sia non nullo. Dobbiamo quindi considerare la condizione:



da cui, sommando tra loro le frazioni algebriche, ricaviamo



Sviluppiamo i calcoli



e osserviamo che, sotto i vincoli , l'equazione diventa



Ora siamo in grado di esplicitare le condizioni di esistenza



dove con indichiamo il connettivo logico "e".

Osserviamo che se fosse uguale a -2, 0 oppure 1, l'equazione perderebbe di significato giacché si annullerebbe almeno un denominatore.

Sotto i vincoli dettati dalle C.E. possiamo continuare con la discussione. I prossimi passaggi algebrici hanno esclusivamente lo scopo di esprimere l'equazione fratta in forma normale.



Sviluppiamo i calcoli



da cui



Trasformiamo la divisione in moltiplicazione, considerando il reciproco del divisore:



e semplifichiamo le frazioni algebriche che costituiscono il prodotto



Trasportiamo tutti i termini al primo membro, prestando la massima attenzione ai segni



e determiniamo il minimo comune multiplo tra i polinomi ai denominatori.



Sotto i vincoli della C.E., possiamo cancellare il denominatore e, sommati i termini simili, ricaviamo l'equazione



Isoliamo i termini con l'incognita al primo membro



raccogliamo il fattore comune 2 al secondo membro



e infine scomponiamo il trinomio notevole



Le condizioni di esistenza garantiscono che , di conseguenza è diverso da zero: possiamo quindi dividere i due membri per , ricavando così



che semplificata diventa



Delle soluzioni trovate, dobbiamo escludere quelle che violano la condizione che si tramuta nella disuguaglianza



condizione questa già esclusa dalle C.E.

Finalmente, è giunto il momento di scrivere le conclusioni:

- se , l'equazione perde di significato;

- se , l'equazione è determinata e ammette come soluzione



Ecco fatto!