Esercizio equazione di I grado con 2 parametri

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Esercizio equazione di I grado con 2 parametri #56169

avt
michitocca
Punto
Mentre stavo risolvendo degli esercizi sulle equazioni parametriche di primo grado, me n'è capitato uno in cui ci sono due parametri e sinceramente non so come fare. Potreste aiutarmi?

Data l'equazione parametrica di primo grado

a(x-b-1)=2x-2b-2

Discutere l'esistenza delle soluzioni al variare dei parametri a\ \mbox{e} \ b, e nel caso sia possibile esplicitare l'insieme soluzione.
 
 

Esercizio equazione di I grado con 2 parametri #56175

avt
Omega
Amministratore
Consideriamo l'equazione parametrica di primo grado

a(x-b-1)=2x-2b-2

Il primo passo consiste nell'espandere i prodotti e trasportando tutti i termini con l'incognita x al primo membro e tutti gli altri al secondo

\\ ax-ab-a=2x-2b-2 \\ \\ ax-2x=ab+a-2b-2

Al primo membro raccogliamo totalmente x e al secondo membro procediamo con un raccoglimento parziale

\\ (a-2)x=a(b+1)-2(b+1)\\ \\ (a-2)x=(b+1)(a-2)

Ora che l'equazione è espressa in forma normale, possiamo concentrarci sul coefficiente di x e individuare i valori per cui esso è nullo.

Se a-2=0, ossia se a=2, l'equazione si riduce a:

0\cdot x=(b+1)\cdot 0

ossia

0=0

per cui, indipendentemente dal valore assunto da b, l'equazione è indeterminata.

Se a-2\ne 0, vale a dire se a\ne 2, il coefficiente di x è non nullo, di conseguenza possiamo dividere i due membri dell'equazione per il termine a-2, ottenendo così la soluzione

x=\frac{(b+1)(a-2)}{a-2}

che dopo la semplificazione della frazione algebrica diventa

x=b+1

La discussione è terminata, ma prima di mettere un punto all'esercizio, scriviamo per bene i risultati:

- se a=2, l'equazione è indeterminata;

- se a\ne 2, l'equazione è determinata e ammette come soluzione x=b+1.

Abbiamo finito.
Ringraziano: Pi Greco, michitocca
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Os