Esercizio sulla divisione di polinomi con verifica del risultato

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Esercizio sulla divisione di polinomi con verifica del risultato #56148

avt
FAQ
Punto
Mi serve una mano per risolvere un esercizio sulle divisioni tra polinomi che mi chiede di calcolare quoziente e resto e di verificare i risultati ottenuti. Ho provato a svolgerlo però sbaglio sicuramente qualcosa perché mi blocco. Per caso devo prima ordinare i polinomi?

Determinare il quoziente e il resto della divisione tra i seguenti polinomi

N(x)=3x^2+9x^3+31x-9\ \ \ \mbox{e} \ \ \ D(x)=-1+3x

e controllare la correttezza dei risultati ottenuti.
Ringraziano: Omega, Pi Greco, Ifrit, Galois
 
 

Esercizio sulla divisione di polinomi con verifica del risultato #56173

avt
Ifrit
Ambasciatore
Prima di calcolare la divisione tra i polinomi

N(x)=3x^2+9x^3+31x-9\ \ \ \mbox{e} \ \ \ D(x)=-1+3x

bisogna controllare che N(x)\ \mbox{e} \ D(x) siano polinomi ordinati secondo le potenze decrescenti di x.

I polinomi non sono ordinati, però nessuno ci impedisce di riscriverli riportando i termini dalla potenza con l'esponente più grande a quella con esponente più piccolo!

N(x)=9x^3+3x^2+31x-9\ \ \ \mbox{e} \ \ \ D(x)=3x-1

dove N(x) è detto polinomio dividendo, mentre D(x) è il polinomio divisore.

Ora possiamo innescare l'algoritmo della divisione polinomiale, grazie al quale possiamo determinare due polinomi Q(x)\ \mbox{e} \ R(x), detti rispettivamente polinomio quoziente e polinomio resto, che consentono di esprimere il polinomio dividendo come prodotto tra il polinomio divisore e il polinomio quoziente, cui va aggiunto il resto. In simboli matematici:

N(x)=Q(x)D(x)+R(x)

Dopo questo breve preambolo teorico, possiamo impostare la divisione polinomiale, disponendo N(x) \ \mbox{e} \ D(x) come segue:

\begin{array}{rrrr|rrr}9x^3&+3x^2&+31x&-9&3x&-1&\\ \cline{5-7}&&&&&&\end{array}

Dividiamo 9x^3 per 3x e scriviamo il quoziente parziale sotto il divisore

\begin{array}{rrrr|ccc}9x^3&+3x^2&+31x&-9&3x&-1&\\ \cline{5-7}&&&&3x^2&&\end{array}

Moltiplichiamo 3x^2 per ciascun termine del divisore e incolonniamo i prodotti, cambiati di segno, sotto il polinomio dividendo

\begin{array}{rrrr|ccc}9x^3&+3x^2&+31x&-9&3x&-1&\\ \cline{5-7}&&&&3x^2&& \\ -9x^3&+3x^2&&&&& \\ \cline{1-4} &&&&&& \end{array}

Sommiamo i monomi simili, incolonnando i risultati al di sotto della linea di separazione.

\begin{array}{rrrr|ccc}9x^3&+3x^2&+31x&-9&3x&-1&\\ \cline{5-7}&&&&3x^2&& \\ -9x^3&+3x^2&&&&& \\ \cline{1-4} //&6x^2&+31x&-9&&& \end{array}

Il primo resto parziale è quindi il polinomio

6x^2+31x-9

il quale ha grado maggiore del polinomio divisore: proprio per questo motivo, siamo costretti a continuare l'algoritmo della divisione, reiterando il ragionamento precedente.

Calcoliamo il quoziente di 6x^2\ \mbox{e} \ 3x e aggiungiamo il risultato al quoziente parziale

\begin{array}{rrrr|ccc}9x^3&+3x^2&+31x&-9&3x&-1&\\ \cline{5-7}&&&&3x^2&+2x& \\ -9x^3&+3x^2&&&&& \\ \cline{1-4} //&6x^2&+31x&-9&&& \end{array}

dopodiché moltiplichiamo 2x per ciascun termine di 3x-1, incolonnando i prodotti cambiati di segno sotto il resto parziale

\begin{array}{rrrr|ccc}9x^3&+3x^2&+31x&-9&3x&-1&\\ \cline{5-7}&&&&3x^2&+2x& \\ -9x^3&+3x^2&&&&& \\ \cline{1-4} //&6x^2&+31x&-9&&& \\ &&&&&& \\ &-6x^2&+2x &&&&\\ \cline{2-4}&&&&  \end{array}

Eseguiamo le somme tra i monomi simili, scrivendo i risultati sotto la linea di separazione

\begin{array}{rrrr|ccc}9x^3&+3x^2&+31x&-9&3x&-1&\\ \cline{5-7}&&&&3x^2&+2x& \\ -9x^3&+3x^2&&&&& \\ \cline{1-4} //&6x^2&+31x&-9&&& \\ &&&&&& \\ &-6x^2&+2x &&&&\\ \cline{2-4}&//&33x&-9&&& \end{array}

Il secondo resto parziale, (33x-9), ha lo stesso grado del polinomio divisore, (3x-1), pertanto dobbiamo continuare con l'algoritmo.

Dividiamo 33x \ \mbox{e} \ 3x e riportiamo il loro quoziente sotto il divisore

\begin{array}{rrrr|ccc}9x^3&+3x^2&+31x&-9&3x&-1&\\ \cline{5-7}&&&&3x^2&+2x&+11 \\ -9x^3&+3x^2&&&&& \\ \cline{1-4} //&6x^2&+31x&-9&&& \\ &&&&&& \\ &-6x^2&+2x &&&&\\ \cline{2-4}&//&33x&-9&&& \end{array}

Moltiplichiamo 11 per ciascun termine del divisore, riportiamo i risultati, cambiati di segno, sotto il resto parziale e infine eseguiamo le somme tra i monomi simili

\begin{array}{rrrr|ccc}9x^3&+3x^2&+31x&-9&3x&-1&\\ \cline{5-7}&&&&3x^2&+2x&+11 \\ -9x^3&+3x^2&&&&& \\ \cline{1-4} //&6x^2&+31x&-9&&& \\ &&&&&& \\ &-6x^2&+2x &&&&\\ \cline{2-4}&//&33x&-9&&&\\ &&&&&&\\ &&-33x&+11&&&\\ \cline{3-4}&&//&+2&&& \end{array}

Si osservi che il grado del polinomio resto è inferiore del grado del divisore, per cui l'algoritmo della divisione ha termine: dobbiamo semplicemente estrapolare i risultati.

Il quoziente della divisione è

Q(x)=3x^2+2x+11

mentre il resto è R(x)=2. Per controllare la correttezza dei risultati, calcoliamo il prodotto tra il quoziente e il divisore e aggiungiamoci il resto: se il risultato di queste operazioni coincide con il dividendo, non abbiamo commesso errori!

Q(x)D(x)+R(x)=(3x^2+2x+11)(3x-1)+2=

Esplicitiamo il prodotto tra i polinomi

\\ =9x^3-3x^2+6x^2-2x+33x-11+2= \\ \\ =9x^3+3x^2+31x-9

Il polinomio ottenuto coincide in tutto e per tutto con il polinomio dividendo, ecco perché concludiamo che non ci sono errori nell'esercizio.
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