Esercizio sulla divisione di polinomi con verifica del risultato

Mi serve una mano per risolvere un esercizio sulle divisioni tra polinomi che mi chiede di calcolare quoziente e resto e di verificare i risultati ottenuti. Ho provato a svolgerlo però sbaglio sicuramente qualcosa perché mi blocco. Per caso devo prima ordinare i polinomi?

Determinare il quoziente e il resto della divisione tra i seguenti polinomi



e controllare la correttezza dei risultati ottenuti.

Prima di calcolare la divisione tra i polinomi



bisogna controllare che siano polinomi ordinati secondo le potenze decrescenti di .

I polinomi non sono ordinati, però nessuno ci impedisce di riscriverli riportando i termini dalla potenza con l'esponente più grande a quella con esponente più piccolo!



dove è detto polinomio dividendo, mentre è il polinomio divisore.

Ora possiamo innescare l'algoritmo della divisione polinomiale, grazie al quale possiamo determinare due polinomi , detti rispettivamente polinomio quoziente e polinomio resto, che consentono di esprimere il polinomio dividendo come prodotto tra il polinomio divisore e il polinomio quoziente, cui va aggiunto il resto. In simboli matematici:



Dopo questo breve preambolo teorico, possiamo impostare la divisione polinomiale, disponendo come segue:



Dividiamo per e scriviamo il quoziente parziale sotto il divisore



Moltiplichiamo per ciascun termine del divisore e incolonniamo i prodotti, cambiati di segno, sotto il polinomio dividendo



Sommiamo i monomi simili, incolonnando i risultati al di sotto della linea di separazione.



Il primo resto parziale è quindi il polinomio



il quale ha grado maggiore del polinomio divisore: proprio per questo motivo, siamo costretti a continuare l'algoritmo della divisione, reiterando il ragionamento precedente.

Calcoliamo il quoziente di e aggiungiamo il risultato al quoziente parziale



dopodiché moltiplichiamo per ciascun termine di , incolonnando i prodotti cambiati di segno sotto il resto parziale



Eseguiamo le somme tra i monomi simili, scrivendo i risultati sotto la linea di separazione



Il secondo resto parziale, , ha lo stesso grado del polinomio divisore, , pertanto dobbiamo continuare con l'algoritmo.

Dividiamo e riportiamo il loro quoziente sotto il divisore



Moltiplichiamo 11 per ciascun termine del divisore, riportiamo i risultati, cambiati di segno, sotto il resto parziale e infine eseguiamo le somme tra i monomi simili



Si osservi che il grado del polinomio resto è inferiore del grado del divisore, per cui l'algoritmo della divisione ha termine: dobbiamo semplicemente estrapolare i risultati.

Il quoziente della divisione è



mentre il resto è . Per controllare la correttezza dei risultati, calcoliamo il prodotto tra il quoziente e il divisore e aggiungiamoci il resto: se il risultato di queste operazioni coincide con il dividendo, non abbiamo commesso errori!



Esplicitiamo il prodotto tra i polinomi



Il polinomio ottenuto coincide in tutto e per tutto con il polinomio dividendo, ecco perché concludiamo che non ci sono errori nell'esercizio.