Esercizi su equazioni con uno e con due valori assoluti

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Esercizi su equazioni con uno e con due valori assoluti #5609

avt
Nello
Cerchio
Avrei bisogno del vostro aiuto per risolvere le seguenti equazioni in cui compaiono diversi valori assoluti. Io ho tentato l'approccio risolutivo suggerito dal mio insegnante, ma la mole di calcoli diventa praticamente ingestibile.

Determinare le soluzioni delle seguenti equazioni


\\ (a) \ \ \ |4x+5|=(2-x)(2+x)+3+x^2 \\ \\ (b) \ \ \ |-x^2+2x+3| = |-x + 3| \\ \\ (c) \ \ \ |(x+4) (x-1)-x^2|=2(2-x)+1 \\ \\ (d) \ \ \ 2|x-1|=x â \frac{1}{3}+|2-x|

Grazie!
 
 

Esercizi su equazioni con uno e con due valori assoluti #5627

avt
Omega
Amministratore
Dobbiamo risolvere diverse equazioni con valore assoluto ognuna delle quali richiede una particolare strategia risolutiva. Come vedremo infatti sarà possibile esprimerle in forme normali differenti e in base alle quali cambia il metodo di risoluzione.

Esercizio (a)

Consideriamo l'equazione con valore assoluto

|4x+5|=(2-x)(2+x)+3+x^2

Esprimiamola in forma normale calcolando il prodotto tra la somma e la differenza di 2\ \mbox{e} \ x e sommiamo in seguito i monomi simili

\\ |4x+5|=4-x^2+3+x^2 \\ \\ |4x+5|=7

L'equazione è espressa nella forma

|A(x)|=k \ \ \ \mbox{con} \ k\ \mbox{numero positivo}

e in quanto tale è equivalente alle due equazioni

4x+5=-7 \ \ \ \vee \ \ \ 4x+5=7

In altri termini l'insieme soluzione dell'equazione data coincide con l'unione degli insiemi soluzione associati alle due equazioni.

Risolviamo la prima

4x+5=-7

Essa è chiaramente un'equazione di primo grado che risolviamo isolando l'incognita al primo membro

4x=-7-5 \ \ \ \to \ \ \ x=\frac{-12}{4}=-3

L'altra equazione si risolve con la stessa strategia

4x+5=7 \ \ \ \to \ \ \ x=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}

Possiamo quindi asserire che

x=-3 \ \ \ \mbox{e}\ \ \ x=\frac{1}{2}

sono le soluzioni dell'equazione

|4x+5|=(2-x)(2+x)+3+x^2

e dunque il suo insieme soluzione è

S=\left\{-3, \ \frac{1}{2}\right\}



Esercizio (b)

Proponiamoci come obiettivo quello di risolvere l'equazione con due valori assoluti

|-x^2+2x+3|=|-x+3|

Dal punto di vista teorico, potremmo studiare il segno degli argomenti dei due moduli e sfruttare in seguito la definizione stessa di valore assoluto, ricavando così diverse equazioni intere. Sebbene questa strategia conduca alle soluzioni, porta con sé una mole di calcoli da non trascurare e richiede un bel po' di tempo.

Osservando attentamente la struttura dell'equazione, ci accorgiamo che si presenta nella forma normale

|A(x)|=|B(x)|

il cui insieme soluzione coincide con l'unione degli insiemi delle soluzioni delle due equazioni

A(x)=-B(x) \ \ \ \vee \ \ \ A(x)=-B(x)

dove \vee indica il connettivo logico "o".

Applicando la strategia al caso in esame, ricaviamo le relazioni

-x^2+2x+3=-(-x+3)\ \ \vee \ \ -x^2+2x+3=-x+3

Risolviamole separatamente partendo dalla prima

-x^2+2x+3=x-3

da cui

\\ -x^2+x+6=0 \\ \\ x^2-x-6=0

Ci siamo ricondotti a un'equazione di secondo grado con coefficienti

a=1 \ \ \ , \ \ \ b=-1 \ \ \ , \ \ \ c=-6

le cui soluzioni sono date dalla formula

\\ x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}=\frac{-(-1)\pm\sqrt{(-1)^2-4\cdot 1 \cdot (-6)}}{2}= \\ \\ \\ =\frac{1\pm\sqrt{25}}{2}=\begin{cases}\frac{1-5}{2}=-2=x_1 \\ \\ \frac{1+5}{2}=3=x_2\end{cases}

Per quanto concerne la relazione

-x^2+2x+3=-x+3

trasportiamo tutti i termini a sinistra e, una volta sommati i monomi simili, scriviamo

-x^2+3x=0

Abbiamo ottenuto un'equazione spuria che risolviamo raccogliendo totalmente il fattore comune x

x(-x+3)=0

e invocando la legge di annullamento del prodotto grazie alla quale otteniamo le equazioni di primo grado

x=0 \ \ \ \vee \ \ \ -x+3=0

da cui

x=0 \ \ \ \vee \ \ \ x=-3

L'equazione iniziale quindi è soddisfatta per il valori

x=-2 \ \ \ ,\ \ \ x=0 \ \ \ , \ \ \ x=3

dunque l'insieme delle soluzioni è:

S=\left\{-2,\ 0, \ 3\right\}


Esercizio (c)

Consideriamo l'equazione con valore assoluto

|(x+4)(x-1)-x^2|=2(2-x)+1

Iniziamo la risoluzione svolgendo le operazioni sia all'interno del valore assoluto, sia al membro di destra

|x^2-x+4x-4-x^2|=4-2x+1

e, una volta sommati i monomi simili, otteniamo

|3x-4|=5-2x

Ora l'equazione è a modello, infatti è espressa nella forma

|A(x)|=B(x)

ossia un valore assoluto al primo membro, tutto il resto al secondo.

Per risolvere l'equazione dobbiamo pertanto studiare il segno dell'argomento del modulo impostando la disequazione

3x-4\ge 0 \ \ \ \to \ \ \ x\ge \frac{4}{3}

dalla quale si evince che 3x-4 è:

- non negativo se x\ge\frac{4}{3};

- positivo se x<\frac{4}{3}.

Queste informazioni sono fondamentali perché consentono di riscrivere l'equazione eliminando il modulo, a patto di specificare il segno di quest'ultimo.

Sotto il vincolo x\ge\frac{4}{3} l'argomento del modulo è non negativo di conseguenza il valore assoluto sparisce senza lasciare traccia

3x-4=5-2x

Ci siamo ricondotti a un'equazione di primo grado che risolviamo isolando l'incognita al primo membro

3x+2x=5+4\ \ \ \to \ \ \ 5x=9 \ \ \ \to \ \ \ x=\frac{9}{5}

Attenzione, il valore x=\frac{9}{5} deve soddisfare la condizione x\ge\frac{4}{3} per essere soluzione dell'equazione, se così non fosse va scartato.

Chiaramente \frac{9}{5}\ge \frac{4}{3} pertanto x=\frac{9}{5} è una soluzione dell'equazione iniziale.

Sotto il vincolo x<\frac{4}{3}, possiamo sì eliminare il modulo dall'equazione, ma questa volta siamo costretti a cambiare il segno del suo argomento, ricavando una nuova equazione di primo grado

-3x+4=5-2x

da cui

\\ -3x+2x=5-4 \ \ \ \to \ \ \ -x=1

Una volta cambiati i segni ai due membri ricaviamo

x=-1

Esso è un valore che è effettivamente soluzione dell'equazione iniziale, infatti realizza il vincolo

x<\frac{4}{3}

Possiamo quindi concludere che

|3x-4|=5-2x

ammette due soluzioni

x=-1\ \ \ \mbox{e} \ \ \ x=\frac{9}{5}

pertanto il suo insieme soluzione è:

S=\left\{-1, \ \frac{9}{5}\right\}


Esercizio (d)

Per risolvere l'equazione con due valori assoluti

2|x-1|=x-\frac{1}{3}+|2-x|

bisogna innanzitutto osservare che in essa si manifestano due valori assoluti.

Per potercene sbarazzare, dovremo necessariamente studiare il segno dei rispettivi argomenti

\\ x-1\ge 0 \ \ \ \to \ \ \ x\ge 1 \\ \\ 2-x\ge 0 \ \ \ \to \ \ \ x\le 2

dal quale otteniamo i seguenti vincoli:

x\le 1 \ \ \ , \ \ \ 1<x\le 2 \ \ \ , \ \ \ x>2

Se x\le 1, il binomio x-1 è negativo o al più nullo, mentre 2-x è positivo, pertanto sussistono le seguenti uguaglianze

\\ |x-1|=-x+1 \ \ \ \mbox{per}\  x\le 1 \\ \\ |2-x|=2-x \ \ \ \mbox{per} \ x\le 1

mediante le quali l'equazione diventa:

2(-x+1)=x-\frac{1}{3}+2-x

In buona sostanza ci siamo ricondotti a un'equazione di primo che possiamo studiare espandendo il prodotto al primo membro

-2x+2=x-\frac{1}{3}+2-x

dopodiché trasportiamo tutti i termini con l'incognita a sinistra e i termini noti a destra, prestando la massima attenzione ai segni

-2x-x+x=-2-\frac{1}{3}+2

Sommati i termini simili, otteniamo

-2x=-\frac{1}{3} \ \ \ \to \ \ \ x=\frac{1}{6}

Poiché il valore \frac{1}{6} soddisfa il vincolo x\le 1, esso è una soluzione dell'equazione iniziale.

Consideriamo ora il secondo vincolo

1<x\le 2

sotto il quale sia x-1 che 2-x sono entrambi non negativi e inoltre sussistono le uguaglianze

\\ |x-1|=x-1 \\ \\ |2-x|=2-x

Queste relazioni consento di esprimere l'equazione come

2(x-1)=x-\frac{1}{3}+2-x

Non ci resta che sviluppare i calcoli

2x-2=x-\frac{1}{3}+2-x

e isolare l'incognita al primo membro

2x=\frac{11}{3}\ \ \ \to \ \ \ x=\frac{11}{6}

Poiché questo valore soddisfa il vincolo 1<x\le 2, esso è soluzione dell'equazione iniziale.

Infine, sotto il vincolo x>2 il binomio x-1 è non negativo mentre 2-x è minore di zero, di conseguenza i valori assoluti diventano

\\ |x-1|=x-1 \\ \\ |2-x|=x-2

Siamo autorizzati a riscrivere quindi l'equazione come

2(x-1)=x-\frac{1}{3}+x-2

Ancora una volta sviluppiamo i calcoli

\\ 2x-2=x-\frac{1}{3}+x-2 \\ \\ 2x-x-x=2-\frac{1}{3}-2

da cui scopriamo che l'equazione è impossibile, infatti ci riconduciamo all'equazione senza incognite

0=\frac{1}{3}

In definitiva abbiamo scoperto che l'equazione

2|x-1|=x-\frac{1}{3}+|2-x|

è soddisfatta per

x=\frac{1}{6} \ \ \ , \ \ \ x=\frac{11}{6}

e il suo insieme soluzione è

S=\left\{\frac{1}{6},\ \frac{11}{6}\right\}

Abbiamo finito.
Ringraziano: Pi Greco, frank094, Nello
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Os