Studio dei segni o sistema per il dominio?

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Studio dei segni o sistema per il dominio? #56055

avt
Ticio
Cerchio
Ciao, oggi ho sbagliato un esercizio sul dominio della seguente funzione e mi è sorto un dubbio riguardo allo studio mediante confronto dei segni e al sistema:

f(x)=\sqrt{\frac{x^{3} +4x^{2}}{4x+1}} + \frac{\sin ( \ln ( 3x^{2} +1 ))}{e^{x^{2}} -1}

Ho quindi posto \sqrt{\frac{x^{3} +4x^{2}}{4x+1}} \geq 0

ottenendo così x \geq 0 e x \geq -4 al numeratore e x > -\frac{1}{4} al denominatore.

Ho poi studiato il segno di queste tre condizioni concludendo

-4 \leq x< - \frac{1}{4} oppure x \geq 0

Ho messo a sistema queste ultime condizioni con x \ne 0 del denominatore del secondo addendo della funzione ottenendo il dominio: 4 \leq x< - \frac{1}{4} o x>0 che però è sbagliato.

Il mio problema è che non ho capito quando mettere a sistema e quando fare lo studio del segno. E poi, quando si fa il sistema certe volte si prendono le soluzioni comuni, altre volte tutti gli intervalli dove la funzione è definita. Mi spiegate anche questa cosa? Grazie mille per l'aiuto.
 
 

Studio del segno o sistema per il dominio? #56096

avt
Omega
Amministratore
Ciao Ticio,

Il mio problema è che non ho capito quando mettere a sistema e
quando fare lo studio del segno.

Devi procedere per passi. Il calcolo del dominio prevede di individuare una serie di condizioni (equazioni del tipo "diverso da" e disequazioni) da mettere a sistema, perché si cerca l'insieme in cui siano tutte soddisfatte.

Poi, ogni condizione va risolta separatamente e a seconda del tipo di disequazione che devi risolvere procederai secondo il relativo metodo di risoluzione. Se ad esempio hai una condizione rappresentata da una disequazione fratta la risolvi a parte studiando il segno di numeratore e denominatore, descrivi l'insieme delle soluzioni e le sostituisci nel sistema al posto della disequazione stessa. Se hai una disequazione irrazionale, la risolvi a parte con la dovuta strategia di risoluzione e poi sostituisci nel sistema la disequazione stessa con l'insieme delle soluzioni descritto per caratteristica.

Consideriamo la funzione

f(x)=\sqrt{\frac{x^3+4x^2}{4x+1}}+\frac{\sin(\ln(3x^2+1))}{e^{x^2}-1}

ed esplicitiamo le condizioni che definiscono il suo dominio.

La radice ad indice pari richiede che il proprio radicando sia maggiore o uguale a zero; il logaritmo, d'altra parte pretende che il proprio argomento sia maggiore di zero; la frazione deve inoltre avere il denominatore diverso da zero.

Mettiamo tutte le condizioni a sistema

\begin{cases}\displaystyle\frac{x^3+4x^2}{4x+1}\geq 0\\ \\ 3x^2+1>0\\ \\ e^{x^2}-1\neq 0\end{cases}

Osserviamo che nel sistema manca la condizione 4x+1\ne 0 perché è insita nella disequazione

\frac{x^3+4x^2}{4x+1}\ge 0

La seconda condizione è banale e verificata per ogni x, perché la somma di un quadrato e di un numero positivo è certamente positiva.

\begin{cases}\displaystyle\frac{x^3+4x^2}{4x+1}\geq 0\\ \\ \forall x\\ \\ e^{x^2}-1\neq 0\end{cases}

La terza condizione è rappresentata da un'equazione esponenziale, che si risolve molto velocemente

\\ e^{x^2}-1\neq 0\ \to \ e^{x^2}\neq e^{0}\ \to \ x^2 \to 0\ \to \\ \\ \to \ x\neq 0

quindi il sistema si riscrive nella forma equivalente

\begin{cases}\displaystyle\frac{x^3+4x^2}{4x+1}\geq 0\\ \\ \forall x\\ \\ x\neq 0\end{cases}

La prima disequazione è fratta. Riscriviamola nella forma

\frac{x^2(x+4)}{4x+1}\geq 0

e studiamo separatamente il segno di numeratore e denominatore.

Numeratore: x^2(x+4)\geq 0

il fattore x^2 è non negativo per ogni x, quindi ci limitiamo a

x+4\geq 0\ \to \ x\geq -4

Denominatore: 4x+1>0 da cui x>-\frac{1}{4}.

Tracciando il grafico dei segni scopriamo che la disequazione è risolta per x\leq -4\vee x> -\frac{1}{4}, per cui

\begin{cases}x\leq -4\vee x>-\frac{1}{4}\\ \\ \forall x\\ \\ x\neq 0\end{cases}

da cui deduciamo che il dominio è

Dom(f)=\left(-\infty,-4\right]\cup\left(-\frac{1}{4},0\right)\cup(0,+\infty)

Abbiamo concluso.
Ringraziano: Pi Greco, Ifrit, Ticio

Studio del segno o sistema per il dominio? #56103

avt
Ticio
Cerchio
Ti ringrazio Omega per la risposta molto chiara e dettagliata. Ancora una cosa: quando si fa il grafico del sistema bisogna prendere sempre le soluzioni comuni o in certi casi tutti gli intervalli dove la funzione è definita?

Studio del segno o sistema per il dominio? #56119

avt
Omega
Amministratore
Un grafico di sistema è volto ad individuare un'intersezione: soluzioni comuni a tutte le condizioni, solo e soltanto quelle.

La tua domanda si contraddice: scrivi un sistema per determinare l'insieme di definizione della funzione, quindi stai già escludendo gli intervalli in cui la funzione non è definita.

La soluzione del sistema è l'insieme di definizione della funzione.

Non confondere quello che cerchi con lo strumento con cui lo cerchi.
Ringraziano: Pi Greco, Ifrit, Ticio
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Os