Risolvere equazione parametrica con due parametri

A scuola stiamo studiando le equazioni letterali di primo grado con due parametri. Finché i parametri non sono al denominatore, non ho problemi, ma non appena compaiono anche a denominatore non riesco a raccapezzarmici.

Stabilire l'insieme delle soluzioni dell'equazione parametrica di primo grado



al variare dei parametri reali .

Grazie.

Consideriamo l'equazione parametrica di primo grado



Osserviamo sin da subito che i denominatori dipendono dai parametri , pertanto dobbiamo richiedere che essi siano non nulli. In termini più espliciti, dobbiamo escludere i valori di che annullano i denominatori



Se almeno uno di essi fosse nullo, l'equazione perderebbe di significato. Impostiamo quindi le relazioni



e analizziamole una alla volta, iniziando dalla prima



Il primo membro può essere fattorizzato raccogliendo parzialmente



La legge di annullamento del prodotto garantisce che il prodotto al primo membro è non nullo se e solo se tutti i fattori che lo compongono sono non nulli, vale a dire



dove è il connettivo logico per la congiunzione "e". Risolvendo le due condizioni ricaviamo



Occupiamoci, ora, della condizione



che possiamo analizzare seguendo il medesimo ragionamento:



da cui



Con le informazioni in nostro possesso, possiamo scrivere le condizioni di esistenza associate all'equazione



Sottolineiamo che se fosse uguale a -1 oppure se assumesse uno tra i valori -1 o 1, l'equazione perderebbe di significato, perché almeno uno dei denominatori si annullerebbe.

Sotto il vincolo delle condizioni di esistenza, possiamo continuare la discussione. Il nostro compito consiste nell'esprimere l'equazione in forma normale, ma prima rimpiazziamo al posto dei denominatori le proprie scomposizioni: passiamo cioè dall'equazione:



a



Portiamo tutti termini al primo membro



e calcoliamo il minimo comune multiplo tra i polinomi



ricavando così l'equazione



In virtù del secondo principio di equivalenza per le equazioni, possiamo cancellare il denominatore



e, una volta espansi i prodotti, ricaviamo:



Sommiamo tra loro i termini simili



e isoliamo l'incognita al primo membro



da cui, dividendo i due membri per 2, otteniamo



Attenzione a non dimenticare le condizioni di esistenza: la soluzione è accettabile esclusivamente se rispettano i vincoli del C.E..

Scriviamo per bene le conclusioni:

- se , l'equazione non ha significato;

- se , l'equazione è determinata e ammette come soluzione



Problema risolto!