Risolvere equazione parametrica con due parametri

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Risolvere equazione parametrica con due parametri #55949

avt
Dabby
Punto
A scuola stiamo studiando le equazioni letterali di primo grado con due parametri. Finché i parametri non sono al denominatore, non ho problemi, ma non appena compaiono anche a denominatore non riesco a raccapezzarmici.

Stabilire l'insieme delle soluzioni dell'equazione parametrica di primo grado

\frac{x-a+1}{ab+b+a+1}=\frac{x-a-1}{ab+b-a-1}

al variare dei parametri reali a\ \mbox{e} \ b.

Grazie.
 
 

Risolvere equazione parametrica con due parametri #55961

avt
Omega
Amministratore
Consideriamo l'equazione parametrica di primo grado

\frac{x-a+1}{ab+b+a+1}=\frac{x-a-1}{ab+b-a-1}

Osserviamo sin da subito che i denominatori dipendono dai parametri a\ \mbox{e} \ b, pertanto dobbiamo richiedere che essi siano non nulli. In termini più espliciti, dobbiamo escludere i valori di a\ \mbox{e}\ b che annullano i denominatori

ab+b+a+1 \ \ \ \mbox{e} \ \ \ ab+b-a-1

Se almeno uno di essi fosse nullo, l'equazione perderebbe di significato. Impostiamo quindi le relazioni

ab+b+a+1\ne 0 \ \ \ \mbox{e} \ \ \ ab+b-a-1\ne 0

e analizziamole una alla volta, iniziando dalla prima

ab+b+a+1\ne 0

Il primo membro può essere fattorizzato raccogliendo parzialmente b

b(a+1)+a+1\ne 0 \ \ \to \ \ (a+1)(b+1)\ne 0

La legge di annullamento del prodotto garantisce che il prodotto al primo membro è non nullo se e solo se tutti i fattori che lo compongono sono non nulli, vale a dire

a+1\ne 0 \ \wedge \ b+1\ne 0

dove \wedge è il connettivo logico per la congiunzione "e". Risolvendo le due condizioni ricaviamo

a\ne -1 \ \wedge \ b\ne -1

Occupiamoci, ora, della condizione

ab+b-a-1\ne 0

che possiamo analizzare seguendo il medesimo ragionamento:

b(a+1)-(a+1)\ne 0 \ \ \to \ \ (a+1)(b-1)\ne 0

da cui

a+1\ne 0 \ \wedge \ b-1\ne 0 \ \ \to \ \ a\ne -1 \ \wedge \ b\ne 1

Con le informazioni in nostro possesso, possiamo scrivere le condizioni di esistenza associate all'equazione

C.E.: a\ne -1 \ \wedge \ b\ne -1 \ \wedge b\ne 1

Sottolineiamo che se a fosse uguale a -1 oppure se b assumesse uno tra i valori -1 o 1, l'equazione perderebbe di significato, perché almeno uno dei denominatori si annullerebbe.

Sotto il vincolo delle condizioni di esistenza, possiamo continuare la discussione. Il nostro compito consiste nell'esprimere l'equazione in forma normale, ma prima rimpiazziamo al posto dei denominatori le proprie scomposizioni: passiamo cioè dall'equazione:

\frac{x-a+1}{ab+b+a+1}=\frac{x-a-1}{ab+b-a-1}

a

\frac{x-a+1}{(b+1)(a+1)}=\frac{x-a-1}{(b-1)(a+1)}

Portiamo tutti termini al primo membro

\frac{x-a+1}{(b+1)(a+1)}-\frac{x-a-1}{(b-1)(a+1)}=0

e calcoliamo il minimo comune multiplo tra i polinomi

(b+1)(a+1)\ \ \ \mbox{e} \ \ \ (b-1)(a+1)

ricavando così l'equazione

\frac{(x-a+1)(b-1)-(x-a-1)(b+1)}{(b+1)(b-1)(a+1)}=0

In virtù del secondo principio di equivalenza per le equazioni, possiamo cancellare il denominatore

(x-a+1)(b-1)-(x-a-1)(b+1)=0

e, una volta espansi i prodotti, ricaviamo:

\\ bx-x-ab+a+b-1-(bx+x-ab-a-b-1)=0 \\ \\ bx-x-ab+a+b-1-bx-x+ab+a+b+1=0

Sommiamo tra loro i termini simili

-2x+2a+2b=0

e isoliamo l'incognita al primo membro

-2x=-2a-2b \ \ \to \ \ 2x=2a+2b

da cui, dividendo i due membri per 2, otteniamo

x=a+b

Attenzione a non dimenticare le condizioni di esistenza: la soluzione è accettabile esclusivamente se a\ \mbox{e} \ b rispettano i vincoli del C.E..

Scriviamo per bene le conclusioni:

- se a=-1 \ \vee \ b=-1 \ \vee \ b=1, l'equazione non ha significato;

- se a\ne -1 \ \wedge \ b\ne -1 \ \wedge \ b\ne 1, l'equazione è determinata e ammette come soluzione

x=a+b

Problema risolto!
Ringraziano: Pi Greco, Galois, Dabby
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Os