Equazione trigonometrica di secondo grado completa per raccoglimento

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Equazione trigonometrica di secondo grado completa per raccoglimento #55822

avt
FAQ
Frattale
Avrei bisogno del vostro aiuto per risolvere un'equazione goniometrica di secondo grado in seno e coseno. Nonostante abbia seguito le direttive del mio insegnante non sono stato capace di ottenere i risultati richiesti.

Risolvere l'equazione goniometrica di secondo grado in seno e coseno

2sin^2(x)+√(3)sin(x)cos(x)+1-cos^2(x) = 0

Grazie.
Ringraziano: Ifrit, CarFaby, matdom
 
 

Equazione trigonometrica di secondo grado completa per raccoglimento #56426

avt
Omega
Amministratore
Per risolvere l'equazione goniometrica di secondo grado non omogenea

2sin^2(x)+√(3)sin(x)cos(x)+1-cos^2(x) = 0

possiamo avvalerci della relazione fondamentale della goniometria

sin^2(x)+cos^2(x) = 1 per ogni x∈R

dalla quale segue che

sin^2(x) = 1-cos^2(x) per ogni x∈R

L'ultima relazione consente di rielaborare l'equazione nella forma:

2sin^2(x)+√(3)sin(x)cos(x)+sin^2(x) = 0

ossia

3sin^2(x)+√(3)sin(x)cos(x) = 0

Ci siamo ricondotti a un'equazione omogenea di secondo grado espressa in termini di seno e coseno che possiamo risolvere mettendo in evidenza il fattore comune sin(x)

sin(x)[3sin(x)+√(3)cos(x)] = 0

e sfruttando in seguito la legge di annullamento del prodotto: essa garantisce che il prodotto al primo membro vale zero se e solo se almeno uno dei fattori che lo compongono è zero. Imponiamo la nullità dei due fattori, ricavando così due equazioni che risolveremo singolarmente

sin(x) = 0 ; 3sin(x)+√(3)cos(x) = 0

La prima

sin(x) = 0

è un'equazione goniometrica elementare soddisfatta dalla seguente famiglia di valori

x = kπ con k∈Z

La seconda, vale a dire

3sin(x)+√(3)cos(x) = 0

è un'equazione lineare in seno e coseno che possiamo risolvere con il metodo dell'angolo aggiunto. La strategia risolutiva consiste nel determinare un numero reale positivo R e un angolo φ che si ricavano a partire dei coefficienti di seno e coseno:

A = 3 , B = √(3)

I valori di R e φ consentono di esprimere

3sin(x)+√(3)cos(x)

nella forma

Rsin(x+φ)

pertanto ci riconduciamo a un'equazione del tipo.

Rsin(x+φ) = 0

Il numero reale R si ricava mediante la relazione

R = √(A^2+B^2) = √(9+3) = √(12) = 2√(3)

mentre φ è l'unico angolo appartenente all'intervallo [0,2π) che realizza il sistema goniometrico

sin(φ) = (B)/(R) ; cos(φ) = (A)/(R)

vale a dire

sin(φ) = (√(3))/(2√(3)) → sin(φ) = (1)/(2) ; cos(φ) = (3)/(2√(3)) → cos(φ) = (√(3))/(2)

da cui otteniamo immediatamente che l'angolo vale φ = (π)/(6).

Avendo a disposizione R e φ siamo autorizzati a riscrivere l'equazione lineare nella forma

2√(3)sin(x+(π)/(6)) = 0

che dividendo i due membri per 2√(3) diventa

sin(x+(π)/(6)) = 0

Risolviamo questa equazione ricordando che il seno di un angolo vale zero se e solo se l'angolo è un multiplo intero di π, ossia

x+(π)/(6) = kπ con k∈Z

da cui

x = -(π)/(6)+kπ con k∈Z

Nota: il rappresentante della famiglia, ossia -(π)/(6), può essere sostituito con qualsiasi altro angolo a patto che quest'ultimo differisca dal primo di un multiplo intero di π. A titolo di esempio, possiamo scegliere come rappresentante

-(π)/(6)+π = (5π)/(6)

e scrivere

x = (5π)/(6)+kπ al variare di k∈Z

Traiamo le dovute conclusioni: l'equazione

2sin^2(x)+√(3)sin(x)cos(x)+1-cos^2(x) = 0

è soddisfatta dalle seguenti famiglie di soluzioni

x = kπ ; x = (5π)/(6)+kπ

] dove k è libero di variare nell'insieme dei numeri interi.
Ringraziano: Ifrit, CarFaby
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