Equazione trigonometrica di secondo grado completa per raccoglimento

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Equazione trigonometrica di secondo grado completa per raccoglimento #55822

avt
FAQ
Punto
Avrei bisogno del vostro aiuto per risolvere un'equazione goniometrica di secondo grado in seno e coseno. Nonostante abbia seguito le direttive del mio insegnante non sono stato capace di ottenere i risultati richiesti.

Risolvere l'equazione goniometrica di secondo grado in seno e coseno

2\sin^2(x)+\sqrt{3}\sin(x)\cos(x)+1-\cos^2(x)=0

Grazie.
Ringraziano: Ifrit, CarFaby, matdom
 
 

Equazione trigonometrica di secondo grado completa per raccoglimento #56426

avt
Omega
Amministratore
Per risolvere l'equazione goniometrica di secondo grado non omogenea

2\sin^2(x)+\sqrt{3}\sin(x)\cos(x)+1-\cos^2(x)=0

possiamo avvalerci della relazione fondamentale della goniometria

\sin^2(x)+\cos^2(x)=1 \ \ \ \mbox{per ogni} \ x\in\mathbb{R}

dalla quale segue che

\sin^2(x)=1-\cos^2(x) \ \ \ \mbox{per ogni} \ x\in\mathbb{R}

L'ultima relazione consente di rielaborare l'equazione nella forma:

2\sin^2(x)+\sqrt{3}\sin(x)\cos(x)+\sin^2(x)=0

ossia

3\sin^2(x)+\sqrt{3}\sin(x)\cos(x)=0

Ci siamo ricondotti a un'equazione omogenea di secondo grado espressa in termini di seno e coseno che possiamo risolvere mettendo in evidenza il fattore comune \sin(x)

\sin(x)[3\sin(x)+\sqrt{3}\cos(x)]=0

e sfruttando in seguito la legge di annullamento del prodotto: essa garantisce che il prodotto al primo membro vale zero se e solo se almeno uno dei fattori che lo compongono è zero. Imponiamo la nullità dei due fattori, ricavando così due equazioni che risolveremo singolarmente

\\ \sin(x)=0\\ \\ 3\sin(x)+\sqrt{3}\cos(x)=0

La prima

\sin(x)=0

è un'equazione goniometrica elementare soddisfatta dalla seguente famiglia di valori

x=k\pi \ \ \ \mbox{con} \ k\in\mathbb{Z}

La seconda, vale a dire

3\sin(x)+\sqrt{3}\cos(x)=0

è un'equazione lineare in seno e coseno che possiamo risolvere con il metodo dell'angolo aggiunto. La strategia risolutiva consiste nel determinare un numero reale positivo R e un angolo \phi che si ricavano a partire dei coefficienti di seno e coseno:

A=3 \ \ \ , \ \ \ B=\sqrt{3}

I valori di R\ \mbox{e} \ \phi consentono di esprimere

3\sin(x)+\sqrt{3}\cos(x)

nella forma

R\sin(x+\phi)

pertanto ci riconduciamo a un'equazione del tipo.

R\sin(x+\phi)=0

Il numero reale R si ricava mediante la relazione

R=\sqrt{A^2+B^2}=\sqrt{9+3}=\sqrt{12}=2\sqrt{3}

mentre \phi è l'unico angolo appartenente all'intervallo [0,2\pi) che realizza il sistema goniometrico

\begin{cases}\sin(\phi)=\dfrac{B}{R} \\ \\ \cos(\phi)=\dfrac{A}{R}\end{cases}

vale a dire

\begin{cases}\sin(\phi)=\dfrac{\sqrt{3}}{2\sqrt{3}}\ \ \ \to \ \ \ \sin(\phi)=\dfrac{1}{2}\\ \\ \cos(\phi)=\dfrac{3}{2\sqrt{3}} \ \ \ \to \ \ \ \cos(\phi)=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\end{cases}

da cui otteniamo immediatamente che l'angolo vale \phi=\frac{\pi}{6}.

Avendo a disposizione R\ \mbox{e}\ \phi siamo autorizzati a riscrivere l'equazione lineare nella forma

2\sqrt{3}\sin\left(x+\frac{\pi}{6}\right)=0

che dividendo i due membri per 2\sqrt{3} diventa

\sin\left(x+\frac{\pi}{6}\right)=0

Risolviamo questa equazione ricordando che il seno di un angolo vale zero se e solo se l'angolo è un multiplo intero di \pi, ossia

x+\frac{\pi}{6}=k\pi \ \ \ \mbox{con} \ k\in\mathbb{Z}

da cui

x=-\frac{\pi}{6}+k\pi \ \ \ \mbox{con} \ k\in\mathbb{Z}

Nota: il rappresentante della famiglia, ossia -\frac{\pi}{6}, può essere sostituito con qualsiasi altro angolo a patto che quest'ultimo differisca dal primo di un multiplo intero di \pi. A titolo di esempio, possiamo scegliere come rappresentante

-\frac{\pi}{6}+\pi= \frac{5\pi}{6}

e scrivere

x=\frac{5\pi}{6}+k\pi\ \ \ \mbox{al variare di} \ k\in\mathbb{Z}

Traiamo le dovute conclusioni: l'equazione

2\sin^2(x)+\sqrt{3}\sin(x)\cos(x)+1-\cos^2(x)=0

è soddisfatta dalle seguenti famiglie di soluzioni

\\ x=k\pi \\ \\ x=\frac{5\pi}{6}+k\pi

] dove k è libero di variare nell'insieme dei numeri interi.
Ringraziano: Ifrit, CarFaby
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