Equazione di primo grado con due parametri

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Equazione di primo grado con due parametri #55804

avt
CarFaby
Templare
Devo risolvere un'equazione parametrica di primo grado, in cui sono presenti due parametri. È proprio la presenza del secondo parametro che mi crea delle perplessità

Discutere l'esistenza delle soluzioni dell'equazione parametrica di primo grado

abx=a+b

al variare dei parametri a\ \mbox{e} \ b, e se possibile esplicitare l'insieme delle soluzioni.

Grazie.
 
 

Equazione di primo grado con due parametri #55930

avt
Omega
Amministratore
Il nostro compito consiste nel discutere l'equazione letterale di primo grado

ab x=a+b

al variare dei parametri a\ \mbox{e} \ b nell'insieme dei numeri reale.

Focalizziamoci sul coefficiente di x e chiediamoci quali sono i valori di a\ \mbox{e}\ b che lo annullano:

ab=0

In virtù della legge di annullamento del prodotto, il prodotto tra a\ \mbox{e}\ b è nullo se e solo se almeno uno dei fattori è nullo, ossia:

a=0 \ \vee \ b=0

dove \vee è il simbolo matematico che indica il connettivo logico o. Analizziamo separatamente i casi a=0 e b=0, iniziando dal primo.

Se a=0 l'equazione

abx=a+b

diventa

0\cdot b x= 0+b

ossia

0=b

Ci siamo ricondotti a un'equazione senza incognite che a seconda del valore che assume b può essere un'identità vera oppure falsa. Più precisamente:

- se b=0, ricaviamo l'identità

0=0

dunque l'equazione data è indeterminata.

- se b\ne 0, otteniamo invece un'equazione impossibile.

Il caso a=0 è terminato.

Studiamo il caso b=0. In tal caso l'equazione

abx=a+b

diventa

a\cdot 0\cdot x=a+0\ \ \to \ \ 0=a

Ancora una volta ci siamo ricondotti a un'equazione senza incognite, che risulta un'identità o meno a seconda del valore di a:

- se a=0, otteniamo l'identità 0=0, di conseguenza l'equazione di partenza è indeterminata;

- se a\ne 0, ricaviamo invece un'equazione impossibile.

Abbiamo portato a termine il caso b=0, ma non abbiamo ancora terminato: bisogna capire cosa succede all'equazione se il coefficiente di x è non nullo.

Se ab\ne 0, ossia se a\ne 0\ \wedge \ b\ne 0, possiamo dividere i due membri dell'equazione per ab, ricavando così la soluzione

x=\frac{a+b}{ab}

Traiamo le dovute conclusioni:

- se a=0\ \wedge \ b=0, l'equazione è indeterminata;

- se a=0\ \wedge \ b\ne 0, l'equazione è impossibile;

- se a\ne 0\ \wedge \ b=0, l'equazione è impossibile;

- se a\ne 0 \ \wedge \ b\ne 0, l'equazione è determinata e ammette come unica soluzione

x=\frac{a+b}{ab}

Abbiamo terminato.
Ringraziano: danying, CarFaby
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Os