Equazione di primo grado con due parametri

Prima di postare leggi le regole del Forum. Puoi anche leggere le ultime discussioni.

Equazione di primo grado con due parametri #55804

avt
CarFaby
Templare
Devo risolvere un'equazione parametrica di primo grado, in cui sono presenti due parametri. È proprio la presenza del secondo parametro che mi crea delle perplessità

Discutere l'esistenza delle soluzioni dell'equazione parametrica di primo grado

abx = a+b

al variare dei parametri a e b, e se possibile esplicitare l'insieme delle soluzioni.

Grazie.
 
 

Equazione di primo grado con due parametri #55930

avt
Omega
Amministratore
Il nostro compito consiste nel discutere l'equazione letterale di primo grado

ab x = a+b

al variare dei parametri a e b nell'insieme dei numeri reale.

Focalizziamoci sul coefficiente di x e chiediamoci quali sono i valori di a e b che lo annullano:

ab = 0

In virtù della legge di annullamento del prodotto, il prodotto tra a e b è nullo se e solo se almeno uno dei fattori è nullo, ossia:

a = 0 ∨ b = 0

dove ∨ è il simbolo matematico che indica il connettivo logico o. Analizziamo separatamente i casi a = 0 e b = 0, iniziando dal primo.

Se a = 0 l'equazione

abx = a+b

diventa

0·b x = 0+b

ossia

0 = b

Ci siamo ricondotti a un'equazione senza incognite che a seconda del valore che assume b può essere un'identità vera oppure falsa. Più precisamente:

- se b = 0, ricaviamo l'identità

0 = 0

dunque l'equazione data è indeterminata.

- se b ne 0, otteniamo invece un'equazione impossibile.

Il caso a = 0 è terminato.

Studiamo il caso b = 0. In tal caso l'equazione

abx = a+b

diventa

a·0·x = a+0 → 0 = a

Ancora una volta ci siamo ricondotti a un'equazione senza incognite, che risulta un'identità o meno a seconda del valore di a:

- se a = 0, otteniamo l'identità 0 = 0, di conseguenza l'equazione di partenza è indeterminata;

- se a ne 0, ricaviamo invece un'equazione impossibile.

Abbiamo portato a termine il caso b = 0, ma non abbiamo ancora terminato: bisogna capire cosa succede all'equazione se il coefficiente di x è non nullo.

Se ab ne 0, ossia se a ne 0 ∧ b ne 0, possiamo dividere i due membri dell'equazione per ab, ricavando così la soluzione

x = (a+b)/(ab)

Traiamo le dovute conclusioni:

- se a = 0 ∧ b = 0, l'equazione è indeterminata;

- se a = 0 ∧ b ne 0, l'equazione è impossibile;

- se a ne 0 ∧ b = 0, l'equazione è impossibile;

- se a ne 0 ∧ b ne 0, l'equazione è determinata e ammette come unica soluzione

x = (a+b)/(ab)

Abbiamo terminato.
Ringraziano: danying, CarFaby
  • Pagina:
  • 1
Os