Disequazioni goniometriche, correzione di tre esercizi

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Disequazioni goniometriche, correzione di tre esercizi #554

avt
Diddi
Cerchio
Sto trovando delle difficoltà a capire le disequazioni goniometriche..o meglio penso di averle capite ma purtroppo i miei risultati non coincidono con quelli del libro, mi servirebbero le vostre correzioni per tre esercizi.. .-.

Potete dare un'occhiata agli svolgimenti delle disequazioni goniometriche qui sotto? Grazie mille..

Mi scuso in anticipo per gli errori..

1) (1-2senx)(2cosx + \sqrt{3}) \leq 0

Bene.. studiando prima l'una e poi l'altra ottengo da 1-2senx

\frac{\pi}{6} + 2k\pi \leq x \leq \frac{5}{6}\pi +2k\pi

e da 2cosx + radical3

2k\pi \leq x \leq \frac{5}{6}\pi +2k\pi \vee \frac {7}{6}\pi + 2k\pi \leq x \leq 2\pi +2k\pi

Ora, come li metto insieme? Il risultato dovrebbe essere

\frac {\pi}{6} + 2k\pi \leq x \leq \frac{7}{6}\pi +2k\pi

2) \frac{\sqrt{2}}{cosx} + \frac{4cosx}{sen^{2}2x}  + \frac{sen (x + \frac{\pi}{2})}{sen^{2}x} < 0

Questa non so proprio come scomporla..penso di aver sbagliato proprio all'inizio

Risultato: \frac{\pi}{2} + 2k\pi < x < \frac{3}{2} \pi + 2k\pi \wedge x\neq \pi + 2k\pi

3) |cos(2x + \frac{\pi}{4})| < \frac {\sqrt {2}}{2}

Risultato:

2k\pi < x < \frac{\pi}{4} + 2k\pi \vee \frac {\pi}{2} + 2k\pi < x < \frac{3}{4}\pi + 2k\pi
 
 

Disequazioni goniometriche, correzione di tre esercizi #560

avt
frank094
Maestro
1) Per quanto riguarda questa prima bisogna studiare separatamente le due disequazioni trigonometriche:

1 - 2\sin{x} \leq 0


2\cos{x} + \sqrt{3} \leq 0


Cosa vuol dire che studiamo queste due separatamente? Che per trovare la soluzione finale è necessario studiare il segno della disequazione!

Non so se le due soluzioni da te trovate sono esatte dunque mi appresterò a risolverle nuovamente:

1 - 2\sin{x} \leq 0

1 \leq 2\sin{x}

\frac{1}{2} \leq sin{x}


Il seno è maggiore o uguale di 1/2 a partire da 30° per finire con 150° .. scriviamola sostituendo i dovuti pigreco:

\frac{\pi}{6} + 2k\pi \leq x \leq \frac{5\pi}{6} + 2k\pi


E fin qui ci siamo! Adesso passiamo a risolvere l'altra;

2\cos{x} + \sqrt{3} \leq 0

2\cos{x} \leq - \sqrt{3}

\cos{x} \leq - \frac{\sqrt{3}}{2}


Il coseno nel primo e nel quarto quadrante è sicuramente positivo dunque la disequazione sicuramente non è verificata.
Nel terzo e nel quarto quadrante invece, è verificata per x compreso tra 150° e 210° .. in simboli:

\frac{5\pi}{6} + 2k\pi \leq x \leq \frac{7\pi}{6} + 2k\pi


A questo punto abbiamo le due soluzioni .. bisogna solo studiarle:

S1. [1/6 pi] ++++++++ [5/6 pi] ----------------------------------------
S2. ----------------- [5/6 pi] +++++++++++++++++ [7/6 pi] -------------

Dunque la disequazione risulta discorde quando è compresa nell'intervallo [1/6 pi] e [7/6 pi] .. di qui la risposta al tuo quesito!
Perché prendiamo i discordi? Perché è un prodotto e se sono entrambi maggiori o uguali di zero, o peggio, entrambi minori o uguali di zero non risolviamo nulla!
Tutto chiaro?
Ringraziano: Diddi, Ifrit

Disequazioni goniometriche, correzione di tre esercizi #561

avt
frank094
Maestro
La seconda non è difficilissima .. è solo abbastanza lunga da svolgere:

\frac{\sqrt{2}}{cosx} + \frac{4cosx}{sen^{2}2x}  + \frac{sen (x + \frac{\pi}{2})}{sen^{2}x} < 0


Iniziamo con l'applicare la formula di duplicazione del seno al quadrato al denominatore, ricordando che:

\sin{2x} = 2 \sin{x} \cos{x}


\frac{\sqrt{2}}{cosx} + \frac{4cosx}{4\sin^{2}{x}\cos^{2}{x}}  + \frac{sen (x + \frac{\pi}{2})}{sen^{2}x} < 0


Il 4 e il coseno al numeratore del termine ora sviluppato si semplificano; per quanto riguarda il terzo membro per gli archi associati ricordiamo che:

\sin{(x + \frac{\pi}{2})} = cos{x}


Andiamo a sostituire i risultati fin qui ottenuti

\frac{\sqrt{2}}{cosx} + \frac{1}{\sin^{2}{x}\cos{x}}  + \frac{\cos{x}}{sen^{2}x} < 0


A questo punto possiamo fare il minimo comune multiplo che chiaramente vale cos(x) sin2(x) .. imponiamo però le condizioni di esistenza:

\cos{x} \neq 0 \quad \rightarrow \quad x \neq \frac{ \pi }{ 2} + k\pi

\sin^{2}{x} \neq 0 \quad \rightarrow \quad x \neq k\pi


\frac{\sqrt{2}\sin^{2}{x} + 1 + \cos^{2}{x}}{\cos{x}\sin^{2}{x}}


Notiamo immediatamente che il numeratore è SEMPRE maggiore di zero: somma di due quadrati e un numero positivo non potrebbe essere altrimenti!
Imponiamo dunque che sia:

\cos{x} \sin^{2}{x} < 0


Poiché il seno elevato al quadrato è sempre positivo dobbiamo prendere in considerazione gli intervalli in cui il coseno è negativo: 2° e 3° quadrante!

\frac{ \pi }{ 2 } + 2k\pi < x < \frac{ 3\pi }{ 2 } + 2k\pi


Notiamo che l'unica tra le condizioni di esistenza che rientra in tale intervallo è quando la x raggiunge pigreco .. dunque:

S = \frac{ \pi }{ 2 } + 2k\pi < x < \frac{ 3\pi }{ 2 } + 2k\pi \wedge x \neq \pi + 2k\pi


Qualche dubbio?
Ringraziano: Diddi, Ifrit

Disequazioni goniometriche, correzione di tre esercizi #562

avt
frank094
Maestro
Infine...

| \cos{(2x + \frac{\pi}{4})} | < \frac{ \sqrt{2} }{ 2 }


La risoluzione è estremamente semplice: basta applicare inizialmente la formula di addizione del coseno a quello dentro il modulo così da poter semplificare radice di 2 su 2!
Dopo si sfrutta la definizione di modulo -> |a| < b = - b < a < b e risolvi con i metodi sfruttati sopra .. se non ti riesce fai sapere!
Ringraziano: Omega, Diddi, Ifrit

Disequazioni goniometriche, correzione di tre esercizi #574

avt
Diddi
Cerchio
Grazie mille.. ^^ ora ne so di più emt
Ringraziano: frank094
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Os