Due esercizi sulla razionalizzazione e...un radicale doppio!

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Due esercizi sulla razionalizzazione e...un radicale doppio! #5523

avt
lux
Cerchio
Salve a tutti, ho iniziato a studiare la razionalizzazione del denominatore dei radicali e sono riuscita a fare gli esercizi base in cui ci sono anche i radicali doppi, ma appena la difficoltà è salita sono andata in panico!

Provo a scriverli per chi gentilmente troverà il tempo per aiutarmi! Grazie

Esercizio n 1

\frac{1 + 2 \sqrt{6}}{\sqrt{2} - \sqrt{3}  + 1}

qui credo si debba razionalizzare il denominatore cambiando i segni.

Esercizio n 2

\frac{\sqrt{3} - 1}{\sqrt{4 - 2 \sqrt{3}}}

Qui mi crea problemi anche il radicale doppio...Grazie!
 
 

Due esercizi sulla razionalizzazione e...un radicale doppio! #5535

avt
frank094
Sfera
Ciao Lux! Nessuna paura, vedrai che pian piano i tuoi dubbi finiranno per dissolversi e i radicali non faranno più tanta paura emt !

\frac{1 + 2 \sqrt{6}}{\sqrt{2} - \sqrt{3}  + 1}

Poiché al denominatore abbiamo ben tre termini possiamo ricorrere ad una razionalizzazione che comprende due step: ridurre ad una sola radice e poi applicare un'altra razionalizzazione (click per il metodo generale).

Per la prima ci basta considerare il denominatore con una opportuna parentesi e poi sfruttare il prodotto notevole della differenza tra due quadrati:

\frac{1 + 2 \sqrt{6}}{\sqrt{2} - [\sqrt{3}  - 1]}

Come ben sai in questi casi è necessario un cambio di segno per il secondo termine del denominatore, così che la prima razionalizzazione è

\frac{1 + 2 \sqrt{6}}{\sqrt{2} - \sqrt{3}  + 1} \cdot \frac{\sqrt{2} + \sqrt{3}  - 1}{\sqrt{2} + \sqrt{3}  - 1}

Per il momento sviluppiamo solo il denominatore .. del numeratore ce ne occuperemo in seguito.

\frac{(1 + 2 \sqrt{6}) \cdot (\sqrt{2} + \sqrt{3}  - 1)}{2 \sqrt{3} - 2}

Infine razionalizziamo il denominatore ( questa volta è molto più semplice ) sfruttando nuovamente il prodotto notevole sopracitato..

\frac{(1 + 2 \sqrt{6}) \cdot (\sqrt{2} + \sqrt{3}  - 1)}{2 \sqrt{3} - 2} \cdot \frac{\sqrt{3} + 1}{\sqrt{3} + 1}

Di nuovo solo il denominatore ..

\frac{(1 + 2 \sqrt{6}) \cdot (\sqrt{2} + \sqrt{3}  - 1) \cdot ( \sqrt{3} + 1 )}{4}

Beh: è fatta! Adesso non rimane altro da fare che sviluppare il numeratore ma considerando che la richiesta è quella di razionalizzare credo sia un passaggio che si può evitare. Ad ogni modo, se serve chiedi emt

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\frac{\sqrt{3} - 1}{\sqrt{4 - 2 \sqrt{3}}}

Eh sì: siamo proprio di fronte ad un radicale doppio .. concentriamoci per il momento solo lo sviluppo del denominatore. Il primo passaggio da fare è portare il 2 dentro al radicando sotto alla prima radice ..

\sqrt{4 - 2 \sqrt{3}} = \sqrt{4 - \sqrt{12}}

Sappiamo che un radicale doppio può essere scritto come somma di radicali semplici se e solo se è un quadrato perfetto

4^2 - 12 = 4

Sì! La condizione è verificata. A questo punto non ci rimane altro da fare che sfruttare la formula risolutiva di un radicale doppio:

\sqrt{4 - \sqrt{12}} = \sqrt{ \frac{ 4 + \sqrt{4^2 - 12} }{2}} - \sqrt{ \frac{ 4 - \sqrt{4^2 - 12} }{2}} = \sqrt{3} - 1

Andiamo a sostituire il risultato ottenuto nell'espressione iniziale

\frac{\sqrt{3} - 1}{\sqrt{3} - 1} = 1

La razionalizzazione a questo punto è semplice ma non necessaria in quanto i due termini si semplificano.

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Se hai qualche dubbio non esitare a chiedere. Ad ogni modo se vuoi scrivere in LaTeX puoi controllare questa guida.
Ringraziano: Omega, Pi Greco

Due esercizi sulla razionalizzazione e...un radicale doppio! #5543

avt
lux
Cerchio
grazie infinite.....ora provero' ad esercitarmi....
il II l'ho trovato piu' semplice
il I è difficilissimo per me
ma mi esercitero'
emt

Re: Due esercizi sulla razionalizzazione e...un radicale doppio! #7381

avt
Lucabig
Frattale
Ciao Frank,

come già specificato nell'email appena inviata avrei un dubbio riguardo alla razionalizzazione.

Senza che riscrivo il tutto, faccio copia-incolla emt .

Potresti spiegarmi nel dettaglio il passaggio subito dopo che hai scritto "Per il momento sviluppiamo solo il denominatore .. del numeratore ce ne occuperemo in seguito. " in quanto non ho capito i calcoli che si fanno.

Stessa cosa vale alla fine, per sviluppare il numeratore come si procede?

Re: Due esercizi sulla razionalizzazione e...un radicale doppio! #7385

avt
frank094
Sfera
Ciao LucaBig, cercherò di spiegare con quanta più precisione possibile .. Fin qui ci siamo.

\frac{1 + 2 \sqrt{6}}{\sqrt{2} - \sqrt{3}  + 1} \cdot \frac{\sqrt{2} + \sqrt{3}  - 1}{\sqrt{2} + \sqrt{3}  - 1}

A questo punto dico che a noi non interessa sviluppare ( eseguire il prodotto ) il numeratore perché, in effetti, la razionalizzazione non è ancora giunta al termine ed in più non è richiesto.
Al denominatore, invece, devo fare il prodotto tra i due termini perché solo in questo modo si può arrivare ad una configurazione più semplice ( ossia passiamo da "due radicali a denominatore" ad "un radicale a denominatore" ):

D = (\sqrt{2} - \sqrt{3} + 1) \cdot (\sqrt{2} + \sqrt{3} - 1)

D = 2 + \sqrt{6} - \sqrt{2} - \sqrt{6} - 3 + \sqrt{3} + \sqrt{2} + \sqrt{3} - 1

D = - 2 + 2 \sqrt{3}

Svolto questo prodotto andiamo a sostituirlo al denominatore ...

\frac{(1 + 2 \sqrt{6})\cdot (\sqrt{2} + \sqrt{3} - 1)}{- 2 + 2 \sqrt{3}} \cdot

In sostanza io ho semplicemente svolto il prodotto tra i due termini a denominatore .. è tutto chiaro?
Ringraziano: Omega, Pi Greco, Lucabig

Re: Due esercizi sulla razionalizzazione e...un radicale doppio! #7406

avt
Lucabig
Frattale
Complimenti Frank, sei stato chiarissimo, grazie mille. Ho capito finalmente dove sbagliavo. Tuttavia, non riesco a capire quando devo sviluppare il numeratore, perché sul mio libro di Algebra ci sono esercizi in cui (verificando dal risultato) il numeratore va sviluppato ed esercizi in cui non...Magari domani (ora sono dal cell) apro un topic con l'esercizio in cui il numeratore va sviluppato emt

Re: Due esercizi sulla razionalizzazione e...un radicale doppio! #7407

avt
frank094
Sfera
Infatti, se l'esercizio richiede che venga razionalizzato e da i risultati con numeratore sviluppato allora .. sviluppiamolo!
Personalmente, quando possibile, calcoli del genere me li risparmio perché alla fin fine non sono funzionali all'esercizio ma non c'è alcun problema.
Tu però fai il secondo superiore quindi trovandoti ad affrontare questi esercizi per la prima volta, è piuttosto tipico che prof e libro chiedano lo sviluppo completo.

Domani, quando vuoi, posta l'esercizio e io ( o qualche altro utente ) ti dirà come svolgere emt !
Ringraziano: Omega, Pi Greco
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Os