Calcolare quoziente e resto di una divisione tra polinomi

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Calcolare quoziente e resto di una divisione tra polinomi #55170

avt
FAQ
Frattale
Dovrei calcolare il quoziente e il resto di una divisione tra due polinomi che non sono completi. Il professore ha suggerito di inserire al posto delle potenze mancanti degli zeri segnaposto, però non ho capito come.

Determinare il quoziente e il resto della divisione tra i seguenti polinomi

N(x)=8x^3-4x+1 \ \ \ \mbox{e} \ \ \ D(x)=2x-1

Grazie.
Ringraziano: Omega
 
 

Calcolare quoziente e resto di una divisione tra polinomi #55664

avt
Omega
Amministratore
Prima di calcolare il quoziente e il resto della divisione tra i polinomi

N(x)=8x^3-4x+1 \ \ \ \mbox{e} \ \ \ D(x)=2x-1

bisogna controllare che N(x)\ \mbox{e} \ D(x) siano polinomi ordinati secondo le potenze decrescenti dell'indeterminata, e lo sono entrambi. Inoltre bisogna accertarsi che il polinomio dividendo e il polinomio divisore presentino tutte le potenze di x: in questo caso N(x) manca del termine quadratico. Nulla di preoccupante, è sufficiente scrivere 0 al posto dei termini mancanti:

N(x)=8x^3+0x^2-4x+1

Ricordiamo che risolvere una divisione tra polinomi vuol dire determinare quoziente e resto Q(x) \ \mbox{e} \ R(x) che soddisfano la relazione

N(x)=Q(x)D(x)+R(x)

dove il grado del polinomio resto è minore del grado del divisore.

Costruiamo lo schema della divisione e risolviamolo!

\begin{array}{cccc|ccc}8x^3&+0x^2&-4x&+1&2x&-1\\ \cline{5-7}&&&&&&\end{array}

Dividiamo 8x^3 per 2x, ottenendo 4x^2 che rappresenta il primo termine del quoziente

\begin{array}{cccc|ccc}8x^3&+0x^2&-4x&+1&2x&-1\\ \cline{5-7}&&&&4x^2&&\end{array}

Moltiplichiamo 4x^2 per ciascun termine del divisore e incolonniamo i prodotti cambiati di segno sotto il dividendo

\begin{array}{cccc|ccc}8x^3&+0x^2&-4x&+1&2x&-1\\ \cline{5-7}&&&&4x^2&& \\ -8x^3&+4x^2&&&&&\\ \cline{1-4}&&&&&&\end{array}

Addizioniamo tra loro i monomi simili e riportiamo i risultati al di sotto della linea di separazione

\begin{array}{cccc|ccc}8x^3&+0x^2&-4x&+1&2x&-1\\ \cline{5-7}&&&&4x^2&& \\ -8x^3&+4x^2&&&&&\\ \cline{1-4}//&+4x^2&-4x&+1&&&\end{array}

Il polinomio 4x^2-4x+1 rappresenta il primo resto parziale: poiché il suo grado è maggiore di quello del divisore, siamo costretti a continuare con l'algoritmo della divisione.

Dividiamo 4x^2 (il primo termine del resto parziale) per 2x, ricavando il secondo termine del quoziente 2x

\begin{array}{cccc|ccc}8x^3&+0x^2&-4x&+1&2x&-1\\ \cline{5-7}&&&&4x^2&+2x& \\ -8x^3&+4x^2&&&&&\\ \cline{1-4}//&+4x^2&-4x&+1&&&\end{array}

Come prima, moltiplichiamo ciascun termine del divisore per 2x e incolonniamo i prodotti, cambiati di segno, sotto il resto parziale

\begin{array}{cccc|ccc}8x^3&+0x^2&-4x&+1&2x&-1\\ \cline{5-7}&&&&4x^2&+2x& \\ -8x^3&+4x^2&&&&&\\ \cline{1-4}//&+4x^2&-4x&+1&&& \\ &&&&&&\\ &-4x^2&+2x&&&& \\ \cline{2-4}&&&&&&\end{array}

Sommiamo i monomi simili e riportiamo i risultati sotto la linea di separazione

\begin{array}{cccc|ccc}8x^3&+0x^2&-4x&+1&2x&-1\\ \cline{5-7}&&&&4x^2&+2x& \\ -8x^3&+4x^2&&&&&\\ \cline{1-4}//&+4x^2&-4x&+1&&& \\ &&&&&&\\ &-4x^2&+2x&&&& \\ \cline{2-4}&//&-2x&+1&&&\end{array}

Purtroppo non abbiamo ancora terminato perché il grado del resto parziale è uguale al grado del divisore: bisogna fare un altro giro di giostra.

Dividiamo -2x per 2x, ottenendo così il terzo termine del quoziente

\begin{array}{cccc|ccc}8x^3&+0x^2&-4x&+1&2x&-1\\ \cline{5-7}&&&&4x^2&+2x&-1 \\ -8x^3&+4x^2&&&&&\\ \cline{1-4}//&+4x^2&-4x&+1&&& \\ &&&&&&\\ &-4x^2&+2x&&&& \\ \cline{2-4}&//&-2x&+1&&&\end{array}

dopodiché moltiplichiamo -1 per ciascun termine del divisore, incolonniamo i risultati, cambiati di segno, sotto il resto parziale e sommiamo!

\begin{array}{cccc|ccc}8x^3&+0x^2&-4x&+1&2x&-1\\ \cline{5-7}&&&&4x^2&+2x&-1 \\ -8x^3&+4x^2&&&&&\\ \cline{1-4}//&+4x^2&-4x&+1&&& \\ &&&&&&\\ &-4x^2&+2x&&&& \\ \cline{2-4}&//&-2x&+1&&&\\&&&&&& \\ &&+2x&-1&&&\\ \cline{3-4}&&//&//&&&\end{array}

La divisione è giunta al termine: non ci resta che estrapolare il quoziente e il resto della divisione

Q(x)=4x^2+2x-1 \ \ \ \mbox{e} \ \ \ R(x)=0

Per controllare la correttezza dell'esercizio è sufficiente moltiplicare il quoziente per il divisore e aggiungerci il resto: se da queste operazioni ricaviamo il dividendo, lo svolgimento non presenta errori!

Q(x)D(x)+R(x)=(4x^2+2x-1)(2x-1)+0=

Calcoliamo il prodotto tra i due polinomi

=8x^3-4x^2+4x^2-2x-2x+1=

e sommiamo tra loro i monomi simili

=8x^3-4x+1=N(x)

Poiché il risultato coincide con il dividendo, l'esercizio è corretto!

Si osservi che il resto della divisione è nullo, per cui il dividendo è un multiplo del polinomio divisore!
Ringraziano: Ifrit, Galois, CarFaby
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Os