Equazione parametrica con frazioni di frazioni

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Equazione parametrica con frazioni di frazioni #55165

avt
Dabby
Punto
Mi è capitato un esercizio sulle equazioni letterali di primo grado in cui il parametro si trova anche a denominatore e sinceramente non so come effettuare la discussione. Potreste aiutarmi?

Data l'equazione letterale di primo grado

\dfrac{\dfrac{(2+a)x}{a^2-1}}{a}+\dfrac{\dfrac{1}{a}}{a-1}=0

discutere l'esistenza delle soluzioni al variare del parametro reale a e, nel caso sia possibile, esplicitare l'insieme delle soluzioni.
Ringraziano: Galois
 
 

Equazione parametrica con frazioni di frazioni #55172

avt
Galois
Coamministratore
Il nostro compito consiste nel discutere l'equazione parametrica di primo grado

\dfrac{\dfrac{(2+a)x}{a^2-1}}{a}+\dfrac{\dfrac{1}{a}}{a-1}=0

al variare del parametro reale a. In tale circostanza dobbiamo richiedere che i denominatori che presentano il parametro siano non nulli, altrimenti l'equazione perde di significato: ricordiamo che non si può dividere per zero!

Imponiamo dunque che:

a^2-1\ne 0\ \wedge \ a\ne 0 \ \wedge a-1\ne 0

e analizziamo singolarmente le tre condizioni. Al primo membro della relazione

a^2-1\ne 0

si presenta una differenza di quadrati e fattorizzandola, consente di esprimere la relazione nella forma

(a+1)(a-1)\ne 0

A questo punto interviene la legge di annullamento del prodotto: il prodotto al primo membro è non nullo se e solo se entrambi i fattori che lo compongono sono non nulli

a+1\ne 0 \ \wedge \ a-1\ne 0 \ \ \to \ \ a\ne -1 \ \wedge \ a\ne 1

La condizione a\ne 0 è già risolta, mentre a-1\ne 0 è praticamente immediata:

a-1\ne 0\ \ \to \ \ a\ne 1

Possiamo concludere che il C.E. associato all'equazione è

C.E. : a\ne -1 \ , \ a\ne 1 \ , \ a\ne 0

Se a assume uno dei valori esclusi, l'equazione perde di significato. Sotto i vincoli delle condizioni di esistenza, possiamo continuare l'indagine. Scriviamo le frazioni di frazioni in forma normale, moltiplicando i vari numeratori principali per i reciproci dei relativi denominatori

\\ \frac{(2+a)x}{a^2-1}\cdot\frac{1}{a}+\frac{1}{a}\cdot\frac{1}{a-1}=0 \\ \\ \\ \frac{(2+a)x}{a(a^2-1)}+\frac{1}{a(a-1)}=0

A questo punto fattorizziamo la differenza di quadrati a^2-1, determiniamo il minimo comune multiplo tra i polinomi a denominatore ed eseguiamo in seguito le operazioni ottenute

\\ \frac{(2+a)x}{a(a+1)(a-1)}+\frac{1}{a(a-1)}=0 \\ \\ \\ \frac{(2+a)x+a+1}{a(a+1)(a-1)}=0

Cancelliamo a questo punto il denominatore, ricavando così l'equazione equivalente

(2+a)x+a+1=0

Trasportiamo tutti i termini senza l'incognita x al secondo membro, ottenendo così l'equazione in forma normale

(2+a)x=-a-1

Ora possiamo iniziare la discussione in base al valore assunto dal coefficiente di x.

Se 2+a=0, ossia se a=-2, l'equazione diventa

(2+(-2))\cdot x=-(-2)-1 \ \ \to \ \ 0\cdot x=1 \ \ \to \ \ 0=1

Sostanzialmente abbiamo ottenuto un'equazione senza incognite, mai soddisfatta.

Se invece 2+a\ne 0, vale a dire se a\ne -2, - e sotto i vincoli dettati dalle condizioni di esistenza - possiamo dividere i due membri dell'equazione per 2+a, ricavando così la soluzione

x=\frac{-a-1}{2+a}

In tal caso l'equazione è determinata.

Traiamo le conclusioni:

- se a=-1 \ \vee \ a=0 \ \vee \ a=1, l'equazione non ha significato;

- se a=-2, l'equazione è impossibile;

- se a\ne -2 \ \wedge \ a\ne \pm 1 \ \wedge a\ne 0, l'equazione è determinata e ammette come unica soluzione:

x=\frac{-a-1}{2+a}

Abbiamo terminato!
Ringraziano: Pi Greco, Ifrit, Dabby
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Os