Studiare un'equazione letterale di primo grado

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Studiare un'equazione letterale di primo grado #54936

avt
Luko92
Punto
Mentre mi esercitavo con le equazioni letterali di primo grado con un parametro, mi è capitato un esercizio in cui le lettere si trovano anche al denominatore. In questa situazione come mi devo comportare?

Studiare la seguente equazione letterale di primo grado al variare del parametro reale b, esplicitando l'insieme delle soluzioni quando possibile

\frac{x-\frac{1}{b}}{b^2+1}-\frac{x+\frac{1}{b}}{b^2+1}-\frac{x}{b}=0

Grazie.
 
 

Studiare un'equazione letterale di primo grado #54944

avt
Galois
Coamministratore
Il nostro compito consiste nello studiare l'equazione parametrica di primo grado

\frac{x-\frac{1}{b}}{b^2+1}-\frac{x+\frac{1}{b}}{b^2+1}-\frac{x}{b}=0

al variare del parametro reale b. Proprio perché il parametro si trova anche ai denominatori, dobbiamo richiedere che essi siano non nulli, altrimenti l'equazione perde di significato:

b^2+1 \ne 0\ \ \ \mbox{e} \ \ \ b\ne 0

Per quanto concerne la prima condizione, essa è certamente verificata giacché la somma di quadrati non contemporaneamente nulli è sicuramente diversa da zero, dunque:

C.E. : b\ne 0

Note le condizioni di esistenza, scriviamo l'equazione in forma normale, semplificando le frazioni di frazioni

\\ \frac{\frac{bx-1}{b}}{b^2+1}-\frac{\frac{bx+1}{b}}{b^2+1}-\frac{x}{b}=0 \\ \\ \\ \frac{bx-1}{b(b^2+1)}-\frac{bx+1}{b(b^2+1)}-\frac{x}{b}=0

Calcoliamo a questo punto il minimo comune multiplo tra i denominatori ed eseguiamo i calcoli

\\ \frac{bx-1-(bx+1)-x(b^2+1)}{b(b^2+1)}=0 \\ \\ \\ \frac{bx-1-bx-1-b^2x-x}{b(b^2+1)}=0

Cancelliamo il denominatore e sommiamo tra loro i termini simili a numeratore

-2-b^2x-x=0

Trasportiamo i termini senza l'incognita al secondo membro e raccogliamo a fattore comune x al primo

(-1-b^2)x=2 \ \ \to \ \ -(1+b^2)x=2 \ \ \to \ \ (1+b^2)x=-2

Poiché 1+b^2 è una somma di quadrati non entrambi nulli, possiamo dividere i due membri per tale fattore, ricavando la soluzione dell'equazione

x=-\frac{2}{1+b^2}

L'analisi è terminata, l'ultimo compito rimasto consiste nello scrivere per bene le conclusioni:

- se b=0, l'equazione perde di significato;

- se b\ne 0, l'equazione è determinata e la sua soluzione è:

x=-\frac{2}{1+b^2}

Abbiamo finito!
Ringraziano: Omega
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Os