Equazione fratta irrazionale con doppia radice

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Equazione fratta irrazionale con doppia radice #54600

avt
danying
Sfera
Dovrei risolvere un'equazione irrazionale fratta caratterizzata dalla presenza di radici di radici. Il mio professore ha suggerito di non imporre le condizioni di esistenza, perché avrebbero comportato una mole di calcoli insostenibile. In questi casi, come faccio a capire che i valori sono effettivamente soluzioni?

Calcolare le eventuali soluzioni dell'equazione irrazionale fratta

\sqrt{\frac{\sqrt{x^2+3x+2}-2x-2}{x+1}}=1

Grazie.
 
 

Equazione fratta irrazionale con doppia radice #54612

avt
Omega
Amministratore
Useremo un metodo alternativo per ricavare le eventuali soluzioni dell'equazione irrazionale fratta

\sqrt{\frac{\sqrt{x^2+3x+2}-2x-2}{x+1}}=1

Esso prevede di eseguire una serie di passaggi algebrici che permettono di ricondurci a un'equazione più semplice da risolvere, detta risolvente, senza tenere conto delle condizioni di esistenza. Determinate le soluzioni della risolvente, bisognerà poi controllare se soddisfano effettivamente l'equazione fratta.

Il primo passaggio consiste nell'elevare al quadrato i due membri così da cancellare la radice quadrata

\\ \left(\sqrt{\frac{\sqrt{x^2+3x+2}-2x-2}{x+1}}\right)^2=1^2 \\ \\ \\ \frac{\sqrt{x^2+3x+2}-2x-2}{x+1}=1

Moltiplichiamo i due membri per x+1: in questo modo si semplifica il denominatore del primo membro.

\sqrt{x^2+3x+2}-2x-2=x+1

Isoliamo la radice quadrata al primo membro, trasportando -2x-2 a destra, avendo premura di cambiare i segni

\sqrt{x^2+3x+2}=3x+3

Eleviamo al quadrato i due membri ancora una volta

(\sqrt{x^2+3x+2})^2=(3x+3)^2

cancelliamo la radice e sviluppiamo il quadrato di binomio

x^2+3x+2=9x^2+18x+9

Portiamo tutti i termini a sinistra e sommiamo i termini simili, ottenendo così l'equazione di secondo grado completa

-8x^2-15x-7=0 \ \ \ \to \ \ \ 8x^2+15x+7=0

Determiniamo le sue soluzioni, avvalendoci della formula del discriminante: indicati con a, \ b\ \mbox{e} \ c rispettivamente il coefficiente di x^2, quello di x e il termine noto, il delta si ricava con la relazione

\\ \Delta=b^2-4ac= \\ \\ =15^2-4\cdot 8\cdot 7=1 \ \ \ \to \ \ \ \sqrt{\Delta}=1

mentre le soluzioni dell'equazione di secondo grado sono date dalla formula:

x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{-15\pm 1}{16}=\begin{cases}-\frac{16}{16}=-1=x_1\\ \\ -\frac{14}{16}=-\frac{7}{8}=x_2\end{cases}

I due valori rappresentano le soluzioni della risolvente: abbiamo bisogno di controllare se sono effettivamente soluzioni dell'equazione irrazionale: ecco quello che faremo.

Rimpiazziamo una alla volta le soluzioni della risolvente al posto della x nell'equazione di partenza, dopodiché svolgiamo i calcoli: se ricaviamo un'uguaglianza, il valore sostituito è soluzione, mentre non lo è se otteniamo un'espressione priva di significato oppure se otteniamo un'uguaglianza falsa.

Se al posto di x inseriamo -1, l'equazione iniziale diventa

\sqrt{\frac{\sqrt{(-1)^2+3(-1)+2}-2(-1)-2}{-1+1}}=1

Essa è priva di significato perché il denominatore si annulla, infatti -1+1=0, e ciò non può succedere: non è possibile dividere per zero. Possiamo affermare che x=-1 non è soluzione dell'equazione irrazionale.

Se al posto di x inseriamo -\frac{7}{8}, ricaviamo l'espressione

\sqrt{\frac{\sqrt{\left(-\frac{7}{8}\right)^2+3\left(-\frac{7}{8}\right)+2}-2\left(-\frac{7}{8}\right)-2}{-\frac{7}{8}+1}}=1

Sviluppiamo i calcoli, prestando la massima attenzione sia alla potenza della frazione, sia ai segni

\sqrt{\frac{\sqrt{\frac{49}{64}-\frac{21}{8}+2}+\frac{7}{4}-2}{-\frac{7}{8}+1}}=1

Esprimiamo a denominatore comune sia le frazioni interne alla radice, sia quelle al denominatore principale

\\ \sqrt{\frac{\sqrt{\frac{49-168+128}{64}}+\frac{7}{4}-2}{\frac{-7+8}{8}}}=1 \\ \\ \\ \sqrt{\frac{\sqrt{\frac{9}{64}}+\frac{7}{4}-2}{\frac{1}{8}}}=1

Esplicitiamo la radice quadrata della frazione

\sqrt{\frac{\frac{3}{8}+\frac{7}{4}-2}{\frac{1}{8}}}=1

e portiamo a termine le operazioni interne alla radice

\\ \sqrt{\frac{\frac{3+14-16}{8}}{\frac{1}{8}}}=1 \\ \\ \\ \sqrt{\frac{\frac{1}{8}}{\frac{1}{8}}}=1 \ \ \ \to \ \ \ 1=1

Abbiamo ottenuto un'uguaglianza, pertanto possiamo concludere che x=-\frac{7}{8} è soluzione dell'equazione irrazionale fratta.
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