Dubbio di procedimento per risolvere un equazione esponenziale

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Dubbio di procedimento per risolvere un equazione esponenziale #54574

avt
bazinga_9
Punto
8⋅3^x+1−135⋅3^x−2+ 9⋅3^3−x=108 salve mi aiutate a risolvere questa equazione esponenziale , il libro da come soluzioni 1 e 2 .

gli altri esercizi li risolvevo cercando di eguagliare le basi quando non era possibile alcuni li risolvevo raccogliendo a fattore comuni alcuni invece li risolvevo ponendo la base con l'esponente più piccolo uguale a T e poi andavo a risolvere l'equazione che ne derivava in questa non so proprio come procedere ....grazie per l'aiuto e spero che questa volta ho rispettato le linee guida.
 
 

Re: Dubbio di procedimento per risolvere un equazione esponenziale #54597

avt
Omega
Amministratore
Ciao Bazinga_9,

8⋅3^x+1−135⋅3^x−2+ 9⋅3^3−x=108


per come è scritta non si tratta di un'equazione esponenziale, piuttosto di un'equazione trascendente

8\cdot 3^x + 1 - 135\cdot 3^x - 2+ 9\cdot 3^3-x=108

se la riscrivi svolgendo alcune operazioni algebriche elementari

8\cdot 3^x-135\cdot 3^x+ 9\cdot 27-x+1-2=108

8\cdot 3^x-135\cdot 3^x+ 243-x+1-2=108

e se raccogli un termine 3^x tra i primi due addendi

(8-135)\cdot 3^x+ 242-x=108

arrivi a

-127\cdot 3^x=x-134

Non puoi determinare algebricamente le soluzioni di un'equazione del genere, puoi solo fornirne un'approssimazione adoperandoti per confronto grafico: le soluzioni saranno i punti di intersezione tra i grafici di f(x)=-127\cdot 3^x e g=x-134. Questo perché il metodo grafico ci permette di considerare l'equazione

f(x)=g(x)

come un confronto tra le ordinate di due grafici.

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Domanda: ora hai capito l'importanza di usare le parentesi tonde per indicare l'esponente composto di una potenza?

Quello che intendi quando scrivi qualcosa in Matematica non necessariamente coincide con quello che hai scritto, e cambiando anche solo una piccolissima cosa l'esercizio può cambiare di molto. emt
Ringraziano: Ifrit, bazinga_9

Re: Dubbio di procedimento per risolvere un equazione esponenziale #54619

avt
bazinga_9
Punto
grazie per la correzione non avevo compreso l'importanza della parentesi mi ha dato una grande lezione , comunque l'esercizio era cosi ci ho provato molte volte a risolverla per favore mi puo aiutare è diventata un ossessione , la ringrazio molto e mi scuso per l'orrore emt 8*3^{x+1}−135*3^{x−2}+ 9*3^{3−x}=108
Ringraziano: Omega

Re: Dubbio di procedimento per risolvere un equazione esponenziale #54622

avt
Ifrit
Ambasciatore
Ciao bazinga_9 emt

abbiamo l'equazione:

8\cdot 3^{x+1}-135\cdot 3^{x-2}+ 9\cdot 3^{3-x}= 108

tramite le proprietà degli esponenziali, che poi sono le proprietà delle potenze possiamo scrivere:

3^{x+1}=3\cdot 3^{x}

3^{x-2}= \frac{1}{9}\cdot 3^{x}

3^{3-x}= 3^{3}\cdot 3^{-x}= \frac{27}{3^{x}}

sostituiamo nell'equazione:

24\cdot 3^{x}-\frac{135}{9}\cdot 3^{x}+ 9\cdot \frac{27}{3^{x}}= 108

Poniamo t= 3^x, in questo modo otteniamo l'equazione:

24 t-15 t+ \frac{243}{t}= 108

sommiamo i termini simili:

9 t+ \frac{243}{t}= 108

Portiamo tutto al primo membro stando attenti ai segni e determiniamo il minimo comune denominatore:

\frac{9 t^2+ 243-108 t }{t}=0

Osserva che questa non è altro che un' equazione razionale fratta ed è equivalente all'equazione:

9t^2-108 t+243=0 (equazione di secondo grado)

Determina il discriminante e le soluzioni, otterrai:

t= 3\vee t= 9

attenzione: non abbiamo finito, ricorda che abbiamo posto t=3^x quindi dobbiamo risolvere le equazioni elementari:

t=3\iff 3^{x}= 3\implies x=1

t=9\iff 3^{x}= 9\iff 3^{x}= 3^{2}\iff x=2

le due soluzioni sono quindi x=1\vee x=2

Se hai dubbi chiedi emt
Ringraziano: Omega, Pi Greco, bazinga_9

Re: Dubbio di procedimento per risolvere un equazione esponenziale #54623

avt
bazinga_9
Punto
grazie siete stati gentilissimi ,ora ripeto pure le proprietà delle potenze era 3^{3-x} che mi creava intoppi .... buon lavoro e scusate se ho pasticciato un po , sono un nuovo utente emt
Ringraziano: Omega
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Os