Sistema di due equazioni con Cramer

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Sistema di due equazioni con Cramer #54514

avt
Bringo
Punto
Brava gente di YouMath, mi sono imbattuto in un sistema di due equazioni con Cramer: ho l'equazione di due rette e devo trovare il loro punto d'intersezione.

Il problema è che vengono fuori numeri abbastanza strani, non ho le soluzioni e non vorrei aver sbagliato qualcosa.

Calcolare il punto di intersezione tra le rette r\ \mbox{e} \ s le cui equazioni sono:

\\ r: 22x-3y+43=0 \\ \\ s:x+5y-26=0

Grazie.
 
 

Sistema di due equazioni con Cramer #54516

avt
Ifrit
Ambasciatore
Il problema richiede di calcolare l'eventuale punto di intersezione tra le due rette r\ \mbox{e} \ s di cui conosciamo le rispettive equazioni

\\ r:22x-3y+43=0 \\ \\ s:x+5y-26=0

Dal punto di vista puramente algebrico, il punto di intersezione delle due rette coincide con la soluzione del sistema lineare formato con le equazioni delle rette

\begin{cases}22x-3y=-43 \\ x+5y=26\end{cases}

Esistono diversi modi per risolverlo: il metodo di sostituzione, il metodo del confronto o ancora il metodo di riduzione. Il testo però è categorico: dobbiamo avvalerci del metodo di Cramer.

Per prima cosa associamo al sistema la cosiddetta matrice dei coefficienti che indichiamo con A. La prima colonna di A è formata dai coefficienti dell'incognita x, la seconda invece ha per elementi i coefficienti di y

A=\left[\begin{matrix} 22 & -3 \\ 1 & 5 \end{matrix}\right]

A tale matrice associamo il determinante D in base al quale siamo in grado di stabilire se il sistema lineare è determinato oppure no.

Ricordiamo infatti che se il determinante della matrice dei coefficienti è non nullo, allora il sistema ammette una e una sola soluzione. Se invece è uguale a zero, il sistema è indeterminato oppure impossibile.

D=\begin{vmatrix} 22 & -3 \\ 1 & 5 \end{vmatrix} = (22\cdot 5) - (-3 \cdot 1)=110+3=113

Esso è diverso da zero, pertanto il sistema ammette un'unica soluzione e le due rette si intersecano in un solo punto (sono dunque rette incidenti).

Per determinare esplicitamente il valore delle due incognite, abbiamo bisogno sia del determinante dell'incognita x, sia il determinante dell'incognita y, indicati solitamente con D_{x}\ \mbox{e} \ D_{y}.

Più esplicitamente, D_{x} è il determinante della matrice che si ottiene sostituendo alla prima colonna di A la colonna dei termini noti:

\\ D_{x}=\begin{vmatrix} -43 & -3 \\ 26 & 5 \end{vmatrix}= (-43\cdot 5) - (-3 \cdot (26))= \\ \\ =-215+78=-137

D_{y} è invece il determinante della matrice che si ottiene sostituendo alla secondo colonna della matrice dei coefficienti quella dei termini noti

\\ D_y=\begin{vmatrix} 22 & -43 \\ 1 & 26 \end{vmatrix} = (22\cdot 26) - (-43 \cdot 1)=\\ \\ =572+43=615

Grazie ai due valori, possiamo infine utilizzare le formule di Cramer per determinare x\ \mbox{e}\  y

\\ x=\frac{D_x}{D}=-\frac{137}{113}\\ \\ \\ y=\frac{D_y}{D}=\frac{615}{113}

e concludere che il sistema lineare ammette come unica soluzione la coppia ordinata

(x,y)=\left(-\frac{137}{113},\frac{615}{113}\right)

In definitiva, le due rette sono incidenti, nel senso che si incontrano in un solo punto coincidente con la soluzione del sistema lineare:

\left(-\frac{137}{113},\frac{615}{113}\right)

Abbiamo finito.
Ringraziano: Pi Greco, CarFaby, Bringo
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Os