Equazione omogenea goniometrica di grado 2

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Equazione omogenea goniometrica di grado 2 #54462

avt
FAQ
Punto
Mi è capitato un esercizio in cui mi si chiede di calcolare le soluzioni di un'equazione goniometrica di secondo grado che però non sono in grado di risolvere perché ci sono alcuni coefficienti irrazionali. Sinceramente non so come muovermi.

Calcolare le soluzioni della seguente equazione goniometrica di secondo grado

3\sin^2(x)+2\sqrt{3}\sin(x)\cos(x)+\cos^2(x)=0

Grazie.
 
 

Equazione omogenea goniometrica di grado 2 #54549

avt
Ifrit
Ambasciatore
L'esercizio chiede di determinare le soluzioni dell'equazione goniometrica di secondo grado

3\sin^2(x)+2\sqrt{3}\sin(x)\cos(x)+\cos^2(x)=0

Osserviamo preliminarmente che essa è un'equazione omogenea espressa in termini di seno e coseno, ecco perché siamo autorizzati a utilizzare la strategia risolutiva standard che consiste nel dividere i due membri per \cos^2(x).

Prima però è necessario controllare se i valori che annullano il coseno al quadrato sono soluzioni dell'equazione o meno: se \cos^2(x)=0, la relazione fondamentale della goniometria

\sin^2(x)+\cos^2(x)=1

garantisce che il seno al quadrato è pari a 1

\sin^2(x)=1

da cui segue che

\sin(x)=-1 \ \ \ \mbox{oppure} \ \ \ \sin(x)=1

Se rimpiazziamo i valori nell'equazione, ricaveremmo in ogni caso 3=0, ossia una relazione impossibile. Di conseguenza i valori che annullano il quadrato del coseno non sono di certo soluzioni dell'equazione data.

Se \cos^2(x)\ne 0, ossia se

x\ne\frac{\pi}{2}+k\pi \ \ \ \mbox{con} \ k\in\mathbb{Z}

possiamo dividere i due membri dell'equazione per \cos^2(x) ricavando così l'equazione equivalente

3\cdot\frac{\sin^2(x)}{\cos^2(x)}+2\sqrt{3}\cdot\frac{\sin(x)\cos(x)}{\cos^2(x)}+\frac{\cos^2(x)}{\cos^2(x)}=0

che una volta semplificata a dovere diventa

3\cdot\frac{\sin^2(x)}{\cos^2(x)}+2\sqrt{3}\cdot\frac{\sin(x)}{\cos(x)}+1=0

Interviene a questo punto la definizione di tangente grazie alla quale siamo autorizzati a scrivere la relazione

3\tan^2(x)+2\sqrt{3}\tan(x)+1=0

Per ricavarne le soluzioni, operiamo la sostituzione

t=\tan(x)

mediante la quale ricaviamo l'equazione di secondo grado nell'incognita t:

3t^2+2\sqrt{3}t+1=0

con coefficienti

a=3 \ \ \ , \ \ \ b=2\sqrt{3} \ \ \ , \ \ \ c=1

Proprio perché il coefficiente di t è facilmente divisibile per due, sfruttiamo la formula del delta quarti

\frac{\Delta}{4}=\left(\frac{b}{2}\right)^2-ac=(\sqrt{3})^2-3\cdot 1= 0

Poiché il delta quarti è nullo, l'equazione in t ammette due soluzioni reali e coincidenti ricavabili con la formula

t_{1,2}=\frac{-\frac{b}{2}\pm\sqrt{\frac{\Delta}{4}}}{a}=\frac{-\sqrt{3}}{3}

In definitiva

3t^2+2\sqrt{3}t+1=0

è soddisfatta per

t=\frac{-\sqrt{3}}{3}

Ripristiniamo l'incognita x: ricordando che t=\tan(x), la precedente relazione si traduce nell'equazione goniometrica elementare

\tan(x)=-\frac{\sqrt{3}}{3}

soddisfatta per

x=\frac{5\pi}{6}+k\pi

dove k è un qualsiasi numero intero.

Traiamo le conclusioni: l'equazione goniometrica di secondo grado in seno e coseno

3\sin^2(x)+2\sqrt{3}\sin(x)\cos(x)+\cos^2(x)=0

è soddisfatta dalla famiglia di valori

x=\frac{5\pi}{6}+k\pi

al variare di k\in\mathbb{Z}.

Ecco fatto!
Ringraziano: Ifrit
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Os