Esercizio: scomporre una somma di cubi

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Esercizio: scomporre una somma di cubi #54387

avt
AntonioD
Frattale
Devo scomporre il seguente polinomio come prodotto di fattori irriducibili. Il polinomio sembrerebbe essere una somma di cubi ma non ne sono sicuro.

x^3+27
 
 

Esercizio: scomporre una somma di cubi #54388

avt
Ifrit
Ambasciatore
Dobbiamo scomporre come prodotto di fattori irriducibili il polinomio di terzo grado

x^3+27=

in cui si manifestano due cubi, x^3 \ \mbox{e}\ 27=3^3

=x^3+3^3

Per poterlo scomporre usufruiamo della regola relativa alla somma di cubi

A^3+B^3=(A+B)(A^2-AB+B^2)

dove A\ \mbox{e}\  B sono rispettivamente le basi dei due cubi. Nel caso in esame

A=x \ \ \ \mbox{e} \ \ \ B=3

pertanto x^3+3^3 si scompone come

x^3+3^3=(x+3)(x^2-3x+3^2)=(x+3)(x^2-3x+9)

L'esercizio è praticamente concluso perché il fattore x^2-3x+9 non è ulteriormente scomponibile, osserviamo infatti che è un falso quadrato.
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