Discussione di equazione parametrica con parametri fratti

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Discussione di equazione parametrica con parametri fratti #54262

avt
darioy18
Punto
Come si discutono le equazioni parametriche di primo grado con le lettere a denominatore? Ad esempio come si risolve la seguente equazione letterale?

Determinare l'insieme delle soluzioni della seguente equazione letterale di primo grado al variare del parametro reale a

\frac{x}{a+1}+\frac{2x-1}{1-a^2}=\frac{1}{8}

Grazie.
 
 

Discussione di equazione parametrica con parametri fratti #54276

avt
Omega
Amministratore
Consideriamo l'equazione letterale di primo grado

\frac{x}{a+1}+\frac{2x-1}{1-a^2}=\frac{1}{8}

Il nostro compito consiste nel discuterla al variare del parametro a nell'insieme dei numeri reali. In altri termini, dovremo esplicitare l'insieme delle soluzioni al variare di a. Osserviamo che il parametro si manifesta anche al denominatore, ecco perché dovremo imporre le opportune condizioni di esistenza, richiedendo che i denominatori contenenti il parametro siano non nulli.

Notiamo inoltre che 1-a^2 è una differenza di quadrati che si fattorizza come segue:

1-a^2=(1-a)(1+a)

Grazie a questa decomposizione, l'equazione si esprime nella forma equivalente

\frac{x}{a+1}+\frac{2x-1}{(1-a)(1+a)}=\frac{1}{8}

Imponiamo che i denominatori con il parametro siano non nulli

\\ a+1\ne 0 \ \  \to \ \ a\ne -1 \\ \\ (1-a)(1+a)\ne 0

Per quanto riguarda l'ultima relazione, possiamo avvalerci della legge di annullamento del prodotto: un prodotto è diverso da zero se e solo se entrambi i fattori che lo compongono sono non nulli

\\ 1-a\ne 0  \ \ \to \ \ a\ne 1 \\ \\ 1+a\ne 0 \ \ \to \ \ a\ne -1

In definitiva, possiamo affermare che l'equazione non perde di significato se e solo se

a\ne -1 \ \mbox{e} \ a\ne 1

mentre se il parametro assume uno tra i valori -1 e 1, essa non ha senso.

Sotto i vincoli a\ne -1 \ \mbox{e} \ a\ne 1 possiamo continuare la discussione.

Determiniamo il minimo comune multiplo tra i polinomi a denominatore e scriviamo l'equazione in forma normale

\frac{8(1-a)x+8\cdot (2x-1)}{8(1-a)(1+a)}=\frac{(1-a)(1+a)}{8(1-a)(1+a)}

Cancelliamo i denominatori e sviluppiamo i calcoli a numeratore

8x-8ax+16x-8=1-a^2

Trasportiamo tutti i termini senza incognita al secondo membro, stando attenti ai segni

24x-8ax=9-a^2

e raccogliamo a fattore comune x al primo membro

(24-8a)x=9-a^2

All'interno delle parentesi tonde, possiamo raccogliere il fattore comune 8, mentre al secondo membro si manifesta una differenza di quadrati:

8(3-a)x=(3-a)(3+a)

Siamo finalmente in grado di intavolare la discussione che dipende dal valore assunto dal coefficiente di x.

Se 8(3-a)=0, ossia se a=3, l'equazione si riduce a un'identità

8(3-3)x=(3-3)(3+3) \ \ \ \to \ \ \ 0=0

Se, invece, 8(3-a)\ne 0 e a sottostà ai vincoli dettati dalle condizioni di esistenza, ossia se

a\ne 3 \ \wedge \ a\ne -1 \ \wedge \ a\ne 1

allora possiamo dividere i due membri dell'equazione per 8(3-a), ricavando così la soluzione

x=\frac{(3-a)(3+a)}{8(3-a)}=\frac{3+a}{8}

In conclusione:

- se a= -1 \ \mbox{oppure se } \ a=1, l'equazione perde di significato;

- se a=3, l'equazione è indeterminata ed è soddisfatta per ogni x reale;

- se a\ne -1\ \mbox{e} \ a\ne 1 \ \mbox{e} \ a\ne 3, l'equazione è determinata e la sua soluzione è

x=\frac{3+a}{8}

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Os