Discussione di equazione parametrica con parametri fratti

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Discussione di equazione parametrica con parametri fratti #54262

darioy18 Punto	Come si discutono le equazioni parametriche di primo grado con le lettere a denominatore? Ad esempio come si risolve la seguente equazione letterale? Determinare l'insieme delle soluzioni della seguente equazione letterale di primo grado al variare del parametro reale $\frac{x}{a+1}+\frac{2x-1}{1-a^2}=\frac{1}{8}$ Grazie.

Discussione di equazione parametrica con parametri fratti #54276

Omega

Amministratore

Consideriamo l'equazione letterale di primo grado

$\frac{x}{a+1}+\frac{2x-1}{1-a^2}=\frac{1}{8}$

Il nostro compito consiste nel discuterla al variare del parametro

nell'insieme dei numeri reali. In altri termini, dovremo esplicitare l'insieme delle soluzioni al variare di

. Osserviamo che il parametro si manifesta anche al denominatore, ecco perché dovremo imporre le opportune condizioni di esistenza, richiedendo che i denominatori contenenti il parametro siano non nulli.

Notiamo inoltre che

è una differenza di quadrati che si fattorizza come segue:

Grazie a questa decomposizione, l'equazione si esprime nella forma equivalente

$\frac{x}{a+1}+\frac{2x-1}{(1-a)(1+a)}=\frac{1}{8}$

Imponiamo che i denominatori con il parametro siano non nulli

$\\ a+1\ne 0 \ \ \to \ \ a\ne -1 \\ \\ (1-a)(1+a)\ne 0$

Per quanto riguarda l'ultima relazione, possiamo avvalerci della legge di annullamento del prodotto: un prodotto è diverso da zero se e solo se entrambi i fattori che lo compongono sono non nulli

$\\ 1-a\ne 0 \ \ \to \ \ a\ne 1 \\ \\ 1+a\ne 0 \ \ \to \ \ a\ne -1$

In definitiva, possiamo affermare che l'equazione non perde di significato se e solo se

$a\ne -1 \ \mbox{e} \ a\ne 1$

mentre se il parametro assume uno tra i valori -1 e 1, essa non ha senso.

Sotto i vincoli $a\ne -1 \ \mbox{e} \ a\ne 1$ possiamo continuare la discussione.

Determiniamo il minimo comune multiplo tra i polinomi a denominatore e scriviamo l'equazione in forma normale

$\frac{8(1-a)x+8\cdot (2x-1)}{8(1-a)(1+a)}=\frac{(1-a)(1+a)}{8(1-a)(1+a)}$

Cancelliamo i denominatori e sviluppiamo i calcoli a numeratore

Trasportiamo tutti i termini senza incognita al secondo membro, stando attenti ai segni

e raccogliamo a fattore comune

al primo membro

All'interno delle parentesi tonde, possiamo raccogliere il fattore comune 8, mentre al secondo membro si manifesta una differenza di quadrati:

Siamo finalmente in grado di intavolare la discussione che dipende dal valore assunto dal coefficiente di

.

Se

, ossia se

, l'equazione si riduce a un'identità

$8(3-3)x=(3-3)(3+3) \ \ \ \to \ \ \ 0=0$

Se, invece, $8(3-a)\ne 0$ e

sottostà ai vincoli dettati dalle condizioni di esistenza, ossia se

$a\ne 3 \ \wedge \ a\ne -1 \ \wedge \ a\ne 1$

allora possiamo dividere i due membri dell'equazione per

, ricavando così la soluzione

$x=\frac{(3-a)(3+a)}{8(3-a)}=\frac{3+a}{8}$

In conclusione:

- se $a= -1 \ \mbox{oppure se } \ a=1$ , l'equazione perde di significato;

- se

, l'equazione è indeterminata ed è soddisfatta per ogni

reale;

- se $a\ne -1\ \mbox{e} \ a\ne 1 \ \mbox{e} \ a\ne 3$ , l'equazione è determinata e la sua soluzione è

$x=\frac{3+a}{8}$

La discussione è completa.

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