Equazione parametrica fratta di primo grado

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Equazione parametrica fratta di primo grado #54179

avt
darioy18
Punto
Ho bisogno di aiuto nel risolvere un esercizio sulle equazioni letterali di primo grado fratte che non riesco a risolvere nonostante abbia tentato più volte.

Determinare l'insieme delle soluzioni dell'equazione parametrica fratta di primo grado

\frac{1}{x}-\frac{1}{a}=0

al variare del parametro reale a, giustificando adeguatamente i passaggi algebrici.
 
 

Equazione parametrica fratta di primo grado #54180

avt
Ifrit
Amministratore
Consideriamo l'equazione parametrica di primo grado fratta

\frac{1}{x}-\frac{1}{a}=0

L'esercizio ci chiede di determinare l'insieme delle soluzioni al variare del parametro reale a. Proprio perché è un'equazione frazionaria, dovremo richiedere che i denominatori presenti siano diversi da zero. In questo caso particolare, anche il parametro a giace a denominatore, dunque dovremo imporre due condizioni

C.E.: x\ne 0 \ \wedge \ a\ne 0

dove \wedge è il connettivo logico che indica la congiunzione "e".

Sottolineiamo che se a fosse uguale a zero, l'equazione perderebbe di significato giacché non è possibile dividere per 0.

Ora che le condizioni di esistenza sono note, possiamo risolvere l'equazione. Calcoliamo il denominatore comune

\frac{a-x}{ax}=0

Poiché stiamo ragionando nell'unico caso che ha senso (a\ne 0) e in virtù delle condizioni di esistenza, possiamo cancellare il denominatore

a-x=0 \ \ \to \ \ -x=-a \ \ \to \ \ x=a

Attenzione, non abbiamo ancora finito: dobbiamo escludere gli eventuali valori di a per cui x=a coincida con zero, violando così la condizione x\ne 0.

x\ne 0 \ \ \to \ \ a\ne 0

La discussione ora è completa. Non ci resta che scrivere esplicitamente le conclusioni:

- se a=0, l'equazione perde di significato;

- se a\ne 0, l'equazione è determinata e l'unica soluzione è data da x=a.

Ecco fatto!
Ringraziano: Galois, CarFaby
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Os