Equazione goniometrica di secondo grado con radicali

Prima di postare leggi le regole del Forum. Puoi anche leggere le ultime discussioni.

Equazione goniometrica di secondo grado con radicali #54177

avt
FAQ
Punto
Mi è capitato un esercizio sulle equazioni goniometriche di secondo grado in seno e coseno che non riesco proprio a risolvere per via di alcuni radicali che compaiono di fronte alle funzioni goniometriche.

Risolvere la seguente equazione goniometrica di secondo grado non omogenea

(3+\sqrt{3})\sin^2(x)+2\cos^2(x)+(\sqrt{3}-1)\sin(x)\cos(x)=3

Come si fa? Grazie.
Ringraziano: Ifrit, CarFaby
 
 

Equazione goniometrica di secondo grado con radicali #54464

avt
Omega
Amministratore
Il nostro obiettivo è quello di risolvere un'equazione goniometrica di secondo grado espressa in termini di seno e coseno non omogenea. La teoria di questa tipologia di equazioni fornisce una strategia risolutiva che consiste nell'usare la relazione fondamentale della goniometria che permette di ricondursi a un'equazione omogenea.

Bisognerà in seguito controllare che i valori che annullano il coseno al quadrato non siano soluzioni dell'equazione e infine dividere i due membri per \cos^2(x) ottenendo in questo un'equazione di secondo grado in termini di tangente.

Dopo questa panoramica, risolviamo l'equazione

(3+\sqrt{3})\sin^2(x)+2\cos^2(x)+(\sqrt{3}-1)\sin(x)\cos(x)=3

Grazie alla relazione fondamentale della goniometria siamo in grado di esprimere 3 in termini di seno e coseno, basta infatti moltiplicare i membri dell'identità

\sin^2(x)+\cos^2(x)=1 \ \ \ \mbox{per ogni} \ x\in\mathbb{R}

per 3 ricavandone un'altra:

3=3\sin^2(x)+\cos^2(x) \ \ \ \mbox{per ogni} \ x\in\mathbb{R}

Grazie a tale relazione, l'equazione diventa

(3+\sqrt{3})\sin^2(x)+2\cos^2(x)+(\sqrt{3}-1)\sin(x)\cos(x)=3\sin^2(x)+3\cos^2(x)

Trasportiamo tutti i termini al primo membro e sommiamo tra loro quelli simili

\\ (3+\sqrt{3}-3)\sin^2(x)+(2-3)\cos^2(x)+(\sqrt{3}-1)\sin(x)\cos(x)=0 \\ \\ \sqrt{3}\sin^2(x)-\cos^2(x)+(\sqrt{3}-1)\sin(x)\cos(x)=0

Osserviamo ora che se \cos^2(x)=0, ossia se

\cos(x)=0 \ \ \ \to \ \ \ x=\frac{\pi}{2}+k\pi \ \ \ \mbox{con} \ k\in\mathbb{Z}

allora

\sin^2(x)=1 \ \ \ \to \ \ \ \sin(x)=-1 \ \ \ \vee \ \ \ \sin(x)=1

Se rimpiazziamo i valori di seno e coseno nell'equazione, ricaviamo la relazione impossibile

\sqrt{3}=0

Ciò garantisce che i valori che annullano il coseno non sono soluzioni dell'equazione. Per \cos^2(x)\ne 0 possiamo dividere i due membri di

\sqrt{3}\sin^2(x)-\cos^2(x)+(\sqrt{3}-1)\sin(x)\cos(x)=0

per \cos(x) ottenendo l'equazione equivalente

\sqrt{3}\frac{\sin^2(x)}{\cos^2(x)}-\frac{\cos^2(x)}{\cos^2(x)}+(\sqrt{3}-1)\frac{\sin(x)\cos(x)}{\cos^2(x)}=0

Dopo aver semplificato il semplificabile, sfruttiamo la definizione di tangente e riscriviamo la precedente relazione come segue:

\sqrt{3}\tan^2(x)+(\sqrt{3}-1)\tan(x)-1=0

Per ricavarne facilmente le soluzioni, operiamo la sostituzione t=\tan(x)

\sqrt{3}t^2+(\sqrt{3}-1)t-1=0

Essa è un'equazione di secondo grado nell'incognita t con coefficienti

a=\sqrt{3} \ \ \ , \ \ \ b=\sqrt{3}-1 \ \ \ , \ \ \ c=-1

Associamone il discriminante

\\ \Delta=b^2-4ac=(\sqrt{3}-1)^2-4\cdot\sqrt{3}\cdot(-1)= \\ \\ =3+1-2\sqrt{3}+4\sqrt{3}=4+2\sqrt{3}=4+\sqrt{12}

Di questo valore dobbiamo calcolare la radice quadrata, pertanto otterremo un radicale doppio

\\ \sqrt{\Delta}=\sqrt{4+\sqrt{12}}=\sqrt{\frac{4+\sqrt{16-12}}{2}}+\sqrt{\frac{4-\sqrt{16-12}}{2}}= \\ \\ \\ = \sqrt{3}+1

Ora che disponiamo della radice quadrata del delta, possiamo ricavare le soluzioni

\\ t=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{-\sqrt{3}+1\pm(1+\sqrt{3})}{2\sqrt{3}}= \\ \\ \\ =\begin{cases}\frac{-\sqrt{3}+1-1-\sqrt{3}}{2\sqrt{3}}=-1=t_1 \\ \\ \frac{-\sqrt{3}+1+1+\sqrt{3}}{2\sqrt{3}}=\frac{1}{\sqrt{3}}=t_2\end{cases}

L'equazione di secondo grado in t ammette due soluzioni reali e distinte

t=-1 \ \ \ , \ \ \ t=\frac{1}{\sqrt{3}}

Non ci resta che ripristinare l'incognita t: poiché t=\tan(x), la relazione t=-1 si traduce nell'equazione goniometrica elementare

\tan(x)=-1 \ \ \ \to \ \ \ x=-\frac{\pi}{4}+k\pi \ \ \ \mbox{con} k\in\mathbb{Z}

mentre la relazione t=\frac{1}{\sqrt{3}} diventa

\tan(x)=\frac{1}{\sqrt{3}}\ \ \ \to \ \ \ x=\frac{\pi}{6}+k\pi \ \ \ \mbox{con} \ k\in\mathbb{Z}

In definitiva, possiamo concludere che l'equazione

(3+\sqrt{3})\sin^2(x)+2\cos^2(x)+(\sqrt{3}-1)\sin(x)\cos(x)=3

è soddisfatta dalle seguenti famiglie di valori

\\ x=-\frac{\pi}{4}+k\pi\\ \\ \\ x=\frac{\pi}{6}+k\pi

dove k è un parametro libero di variare nell'insieme dei numeri interi.

Abbiamo finito!
Ringraziano: Ifrit, CarFaby
  • Pagina:
  • 1
Os