Equazione trigonometrica con argomenti esponenziali

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Equazione trigonometrica con argomenti esponenziali #54163

avt
Anonimizzato
Punto
Ho bisogno di una mano per risolvere un'equazione goniometrica con seno e coseno i cui argomenti sono esponenziali in base pi greco. Secondo il mio professore, l'esercizio è difficile e richiede un'analisi approfondita.

Risolvere la seguente equazione trigonometrica

\sin(\pi^{x})+\frac{\sin(2\pi^{x})}{2}=1+\cos(\pi^x)

Come si fa?
 
 

Equazione trigonometrica con argomenti esponenziali #54470

avt
Ifrit
Ambasciatore
Proponiamoci come obiettivo quello di risolvere l'equazione goniometrica

\sin(\pi^{x})+\frac{\sin(2\pi^{x})}{2}=1+\cos(\pi^x)

Prima di svolgere qualsiasi passaggio algebrico, è opportuno notare che non bisogna imporre alcuna condizione di esistenza: infatti seno e coseno sono ben definite ovunque, lo stesso dicasi per la funzione esponenziale in base \pi.

Il miglior approccio prevede di usare la sostituzione t=\pi^x che consente di riscrivere l'equazione come

\sin(t)+\frac{\sin(2t)}{2}=1+\cos(t)

e di avvalersi delle giuste formule trigonometriche così da ricondurre l'equazione in qualche forma notevole. Usando le formule di duplicazione del seno

\sin(2\alpha)=2\sin(\alpha)\cos(\alpha) \ \ \ \mbox{per ogni} \ \alpha\in\mathbb{R}

l'equazione si può riscrivere come

\\ \sin(t)+\frac{2\sin(t)\cos(t)}{2}=1+\cos(t) \\ \\ \\ \sin(t)+\sin(t)\cos(t)=1+\cos(t)

Al primo membro raccogliamo \sin(t)

\sin(t)[1+\cos(t)]=1+\cos(t)

e trasportiamo tutti i termini al primo, prestando la dovuta attenzione ai segni

\sin(t)[1+\cos(t)]-(1+\cos(t))=0

Raccogliamo totalmente 1+\cos(t)

[1+\cos(t)][\sin(t)-1]=0

e utilizziamo la legge di annullamento del prodotto grazie alla quale ci riconduciamo a due equazioni goniometriche elementari

1+\cos(t)=0 \ \ \ , \ \ \ \sin(t)-1=0

Risolviamo la prima

1+\cos(t)=0 \ \ \ \to \ \ \ \cos(t)=-1

dalla quale si ottiene

t=\pi+2k\pi \ \ \ \mbox{con} \ k\in\mathbb{Z}

Per quanto concerne la seconda

\sin(t)-1=0 \ \ \ \to \ \ \ \sin(t)=1

da cui

t=\frac{\pi}{2}+2k\pi \ \ \ \mbox{con}  \ k\in\mathbb{Z}

Purtroppo l'esercizio non è ancora giunto al termine, è necessario infatti ritornare nell'incognita x tenendo a mente la sostituzione fatta. Poiché t=\pi^x, la relazione

t=\pi+2k\pi

si tramuta nell'equazione esponenziale

\pi^x=\pi+2k\pi

Dividendo i due membri per \pi e applicando la proprietà sul rapporto di due potenze con la stessa base, l'equazione diventa

\pi^{x-1}=1+2k

Attenzione! Poiché l'esponenziale è positiva, dobbiamo richiedere che lo sia anche il secondo membro dell'equazione

1+2k>0 \ \ \ \to \ \ \ k>-\frac{1}{2}

altrimenti l'uguaglianza non sarebbe certamente verificata proprio perché i membri non sono concordi!

Se k>-\frac{1}{2}, possiamo applicare a destra e a sinistra il logaritmo in base \pi e ottenere

x-1=\log_{\pi}(1+2k)

da cui isolando l'incognita

x=1+\log_{\pi}(1+2k) \ \ \ \mbox{per ogni} \ k\in\mathbb{Z} \ \ \wedge \ \ k>-\frac{1}{2}

Occupiamoci della relazione lasciata in sospeso

t=\frac{\pi}{2}+2k\pi \ \ \ \mbox{con}  \ k\in\mathbb{Z}

e ripristiniamo l'incognita x

\pi^x=\frac{\pi}{2}+2k\pi

Come prima, dividiamo i due membri per \pi

\pi^{x-1}=\frac{1}{2}+2k

e imponiamo la positività del secondo membro

\frac{1}{2}+2k>0\ \ \ \to \ \ \ k>-1

Se k rispetta l'ultimo vincolo, possiamo applicare ai due membri il logaritmo in base \pi e scrivere l'equazione equivalente

x-1=\log_{\pi}\left(\frac{1}{2}+2k\right)

da cui

x=1+\log_{\pi}\left(\frac{1}{2}+2k\right)

con k numero intero maggiore di -1.

Possiamo concludere che l'equazione

\sin(\pi^{x})+\frac{\sin(2\pi^{x})}{2}=1+\cos(\pi^x)

ammette come soluzioni

\\ x=1+\log_{\pi}(1+2k) \ \ \ \mbox{con} \ k\in\mathbb{Z} \ \wedge \ k>-\frac{1}{2}\\ \\ \\ x=1+\log_{\pi}\left(\frac{1}{2}+2k\right)\ \ \ \mbox{con} \ k\in\mathbb{Z}\ \wedge \ k>-1

Ecco fatto.
Ringraziano: Omega, Hesse
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Os