Difficoltà con un'espressione algebrica di 2° grado

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Difficoltà con un'espressione algebrica di 2° grado #54038

avt
marty98
Punto
Per favore mi potreste aiutare con questa espressione?
[1/(y^2-x^2-1+2x)-1/(y^2-x^2-1-2x)]:[1/(y+x-1)-1/(y+x+1)]:[x/(y-x)^2-1]

Risultato -2

Il mio svolgimento è questo:
[1/-(x-y-1)(x+y-1)+1/(x-y+1)(x+y+1)]:[(y+x+1-y-x+1)/(y+x-1)(y+x+1)]:[x/(y-x-1)(y-x+1)]=

={-[(x-y+1)(x+y+1)+(x-y-1)(x+y-1)]/[(x-y-1)(x+y-1)(x-y+1)(x+y+1)]}:[2/(y+x-1)(y+x+1)]:[x/(y-x-1)(y-x+1)]=

Ora il risultato della parentesi graffa non riesco più a scomporlo probabilmente ho sbagliato qulacosa in questo step.
Mi potreste spiegare dove?
Grazie anticipatamente.
 
 

Difficoltà con un'espressione algebrica di 2° grado #54058

avt
Manuel1990
Sfera
Ciao marty98 emt

Se ho compreso bene, l'espressione è:

\left \[\frac{1}{y^2-x^2-1+2x}-\frac{1}{y^2-x^2-1-2x}\right\]:\left\[ \frac{1}{y+x-1}-\frac{1}{y+x+1}\right\]:\left\[\frac{x}{(y-x)^2}-1\right\]

Fattorizzando i vari denominatori e facendo comune denominatore otteniamo:

\frac{(y-x-1)(y+x+1)-(y+x-1)(y-x+1)}{(y-x-1)(y+x+1)(y+x-1)(y-x+1)} \cdot \frac{(y+x+1)(y+x-1)}{(y+x+1)-(y+x-1)} \cdot \frac{(y-x)^2}{x-(y-x)^2}

Ora semplificando e facendo conti si dovrebbe arrivare a:

\frac{2x(x-y)}{((x-y)^2-1)\cdot((x-y)^2-x+1)}

Onestamente mi pare il denominatore sia di grado più alto quindi la vedo dura che venga -2. Magari qualcosa si può semplificare emt
Ringraziano: Ifrit

Difficoltà con un'espressione algebrica di 2° grado #54077

avt
Galois
Amministratore
Ciao marty98 e ciao Manuel emt

@Marty: ti invito ad essere più precisa quando scrivi il testo dell'esercizio. Così come lo hai scritto inizialmente la giusta interpretazione è quella data da Manuel... Però poi guardando i passaggi successivi e aiutato dall'esperienza, mi son reso conto che il testo corretto è il seguente:

\left \[\frac{1}{y^2-x^2-1+2x}-\frac{1}{y^2-x^2-1-2x}\right\]:\left\[ \frac{1}{y+x-1}-\frac{1}{y+x+1}\right\]:\left\[\frac{x}{(y-x)^2-1}\right\]

Procediamo quindi a semplificarla. Inutile dire che faremo un'abbondante uso dei prodotti notevoli

Iniziamo col cambiare di segno ai denominatori delle prime due frazioni nella prima quadra:

\left \[\frac{1}{-(x^2-2x+1-y^2)}-\frac{1}{-(x^2+2x+1-y^2)}\right\]

che possiamo scrivere come:

\left \[\frac{-1}{(x^2-2x+1-y^2)}+\frac{1}{(x^2+2x+1-y^2)}\right\]

(Abbiamo cioè portato il segno meno a numeratore)

Esaminiamo ora a parte i due denominatori.

Avrai sicuramente riconosciuto lo sviluppo di un quadrato di binomio:

x^2-2x+1-y^2 = (x-1)^2-y^2

siamo ora di fronte ad una differenza di quadrati, quindi:

x^2-2x+1-y^2 = (x-1)^2-y^2=(x+y-1)(x-y-1)

Idem per il secondo denominatore:

x^2+2x+1-y^2 = (x+1)^2-y^2=(x-y+1)(x+y+1)

La nostra espressione iniziale è quindi diventata:

\left \[\frac{-1}{(x+y-1)(x-y-1)}+\frac{1}{(x-y+1)(x+y+1)}\right\]:\left\[ \frac{1}{y+x-1}-\frac{1}{y+x+1}\right\]:\left\[\frac{x}{(y-x)^2-1}\right\]

Procediamo ora a fare, nelle prime due quadre il minimo comune multiplo e, dopo qualche semplice conticino:

\left \[\frac{-4x}{(x+y-1)(x-y-1)(x-y+1)(x+y+1)}\right\]:\left\[ \frac{2}{(x+y-1)(x+y+1)}\right\]:\left\[\frac{x}{(y-x)^2-1}\right\]

Ovvero:

\left \[\frac{-4x}{(x+y-1)(x-y-1)(x-y+1)(x+y+1)}\right\] \cdot \left\[ \frac{(x+y-1)(x+y+1)}{2}\right\] \cdot \left\[\frac{(y-x)^2-1}{x}\right\]

Semplificando:

\left \[\frac{-2}{(x-y-1)(x-y+1)}\right\] \cdot \left\[(y-x)^2-1\right\]

Osserva ora che:

(x-y-1)(x-y+1)=(x-y)^2-1=(y-x)^2-1

Semplificando otterrai proprio -2

emt
Ringraziano: Pi Greco, Ifrit, Manuel1990, marty98
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Os