Svolgimento disequazione irrazionale fratta

Salve a tutti, non capisco come risolvere questa disequazione irrazionale fratta. Ho letto che si razionalizza e poi si procede normalmente, ma oltre alla soluzione data dal libro (cioè x>0), dai miei calcoli risulta accettabile anche la soluzione x<-3/4.

Se qualcuno mi aiutasse a capire dove sbaglio gliene sarei molto grata.

Ciao Rose



Facciamo 2 conticini e riscriviamola come:



Numeratore :

Come puoi vedere nella lezione sulle disequazioni irrazionali, bisogna impostare un sistema:

{tex}\begin{cases}
3x+1>0\\
x^2+1>0 \\
(3x +1)^2 > x^2+1
\end{cases}
{/tex}

Che ridotto all'osso è:

{tex}\begin{cases}
3x+1>0\\
x^2+1>0 \\
x(x+3) > 0
\end{cases}{/tex}

Salto un po' di passaggi, sono 3 disequazioni molto semplici. Dal sistema trovi come soluzione:

Denominatore : Non influisce, La radice di una somma di quadrati è sempre positiva.

In definitiva la soluzione è

Se hai dubbi chiedi pure

Ciao Rose

Scusami, ma proprio non capisco perché dovresti razionalizzare

Inizia col portare tutto al primo membro e fare il minimo comune multiplo. Otterrai:



Siamo ora di fronte ad una disequazione fratta.

Studiamo quindi separatamente numeratore e denominatore ponendoli maggiori di zero:

Denominatore

; è verificata per ogni x. Osserva infatti che sotto la radice abbiamo una somma di quadrati che, come tale, è sempre strettamente maggiore di zero.

Numeratore



da cui:



e quindi:



Questa è una disequazione irrazionale

le cui soluzioni sono date dalle soluzioni del sistema di disequazioni:



Ora:

Per ogni x (è una somma di quadrati)



è una disequazione di secondo grado che ti darà come soluzioni:

Mettendo insieme le singole soluzioni avrai: che è la soluzione della nostra disequazione di partenza (visto che il denominatore era sempre maggiore di zero)