Svolgimento disequazione irrazionale fratta

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Svolgimento disequazione irrazionale fratta #54036

avt
Rose
Punto
Salve a tutti, non capisco come risolvere questa disequazione irrazionale fratta. Ho letto che si razionalizza e poi si procede normalmente, ma oltre alla soluzione data dal libro (cioè x>0), dai miei calcoli risulta accettabile anche la soluzione x<-3/4.

Se qualcuno mi aiutasse a capire dove sbaglio gliene sarei molto grata.

\frac{3x+1}{\sqrt{x^{2}+1}}>1
 
 

Svolgimento disequazione irrazionale fratta #54062

avt
Manuel1990
Sfera
Ciao Rose emt

\frac{3x+1}{\sqrt{x^{2}+1}}>1

Facciamo 2 conticini e riscriviamola come:

\frac{3x+1-\sqrt{x^{2}+1}}{\sqrt{x^{2}+1}}>0

Numeratore : 3x+1-\sqrt{x^{2}+1}>0

Come puoi vedere nella lezione sulle disequazioni irrazionali, bisogna impostare un sistema:

{tex}\begin{cases}
3x+1>0\\
x^2+1>0 \\
(3x +1)^2 > x^2+1
\end{cases}
{/tex}

Che ridotto all'osso è:

{tex}\begin{cases}
3x+1>0\\
x^2+1>0 \\
x(x+3) > 0
\end{cases}{/tex}

Salto un po' di passaggi, sono 3 disequazioni molto semplici. Dal sistema trovi come soluzione: x>0

Denominatore : Non influisce, La radice di una somma di quadrati è sempre positiva.

In definitiva la soluzione è x>0

Se hai dubbi chiedi pure emt
Ringraziano: Omega, Pi Greco, Ifrit, Galois, Rose

Svolgimento disequazione irrazionale fratta #54065

avt
Galois
Amministratore
Ciao Rose emt

Scusami, ma proprio non capisco perché dovresti razionalizzare emt

Inizia col portare tutto al primo membro e fare il minimo comune multiplo. Otterrai:

\frac{3x+1-\sqrt{x^2+1}}{\sqrt{x^2+1}} > 0

Siamo ora di fronte ad una disequazione fratta.

Studiamo quindi separatamente numeratore e denominatore ponendoli maggiori di zero:

Denominatore

\sqrt{x^2+1} > 0; è verificata per ogni x. Osserva infatti che sotto la radice abbiamo una somma di quadrati che, come tale, è sempre strettamente maggiore di zero.

Numeratore

3x+1-\sqrt{x^2+1}> 0

da cui:

3x+1 > \sqrt{x^2+1}

e quindi:

\sqrt{x^2+1} < 3x+1

Questa è una disequazione irrazionale

le cui soluzioni sono date dalle soluzioni del sistema di disequazioni:

\left\{ \begin{matrix}x^2+1 \geq 0 \\ 3x+1 > 0 \\ x^2+1 < (3x+1)^2 \end{matrix}

Ora:

x^2+1 \geq 0 Per ogni x (è una somma di quadrati)

3x+1 > 0 \rightarrow x > -\frac{1}{3}

x^2+1 < (3x+1)^2 è una disequazione di secondo grado che ti darà come soluzioni: x<-\frac{3}{4} \vee x>0

Mettendo insieme le singole soluzioni avrai: x>0 che è la soluzione della nostra disequazione di partenza (visto che il denominatore era sempre maggiore di zero) emt
Ringraziano: Omega, Pi Greco, Ifrit, Manuel1990, Rose, Pelide98, Tux191
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