Equazione spuria di secondo grado con i radicali

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Equazione spuria di secondo grado con i radicali #53971

avt
danying
Sfera
Finora ho svolto moltissimi esercizi sulle equazioni di secondo grado senza commettere nemmeno un errore, ma me ne è capitato uno in cui mi si chiede di determinare le soluzioni di un'equazione spuria a coefficienti irrazionali, che non so risolvere proprio a causa dei radicali. Spero possiate aiutarmi a risolvere il mio problema.

Determinare le soluzioni della seguente equazione spuria a coefficienti irrazionali

\sqrt{6}x+\frac{x^2}{\sqrt{3}}=0

Grazie.
Ringraziano: matdom
 
 

Equazione spuria di secondo grado con i radicali #53976

avt
Omega
Amministratore
Il nostro compito consiste nel risolvere l'equazione di secondo grado

\sqrt{6}x+\frac{x^2}{\sqrt{3}}=0

ma prima di avventurarci nei calcoli è opportuno fare delle precisazioni.

L'equazione è espressa in forma normale? Non ancora, bisogna ordinare il polinomio secondo le potenze decrescenti dell'incognita x a sinistra dell'uguale

\frac{x^2}{\sqrt{3}}+\sqrt{6}x=0

Ora è in forma normale.

Osserviamo che il termine noto è nullo, dunque siamo autorizzati a concludere che siamo in presenza di un'equazione spuria.

Osserviamo inoltre che al denominatore di x^2 compare il radicale \sqrt{3} che complica un po' la risoluzione dell'equazione stessa. Per agevolare i passaggi algebrici effettuiamo una razionalizzazione moltiplicando e dividendo \frac{x^2}{\sqrt{3}} per \sqrt{3}

\frac{x^2\cdot\sqrt{3}}{\sqrt{3}\cdot\sqrt{3}}+\sqrt{6}x=0

da cui

\frac{\sqrt{3}x^2}{3}+\sqrt{6}x=0

A questo punto l'equazione è facile da risolvere: è sufficiente calcolare il minimo comune multiplo tra i denominatori e scrivere

\frac{\sqrt{3}x^2+3\sqrt{6}x}{3}=0

In virtù del secondo principio di equivalenza, possiamo eliminare il denominatore, ottenendo così l'equazione equivalente

\sqrt{3}x^2+3\sqrt{6}x=0

Continuiamo con la risoluzione raccogliendo totalmente x

x\left(\sqrt{3}x+3\sqrt{6}\right)=0

e sfruttando la legge di annullamento del prodotto, secondo cui un prodotto è zero se e solo se almeno uno dei fattori che lo compongono è zero. Scriviamo pertanto:

\\ x=0 \\ \\ \sqrt{3}x+3\sqrt{6}=0

Esse sono entrambe equazioni di primo grado, la prima delle quali fornisce già la soluzione nulla.

La seconda richiede qualche passaggio algebrico in più.

Per risolvere l'equazione

\sqrt{3}x+3\sqrt{6}=0

isoliamo il termine con l'incognita al primo membro, trasportando 3\sqrt{6} a destra dell'uguale cambiandogli il segno

\sqrt{3}x=-3\sqrt{6}

dopodiché dividiamo a destra e a sinistra per \sqrt{3}

x=\frac{-3\sqrt{6}}{\sqrt{3}}

Sebbene questo valore sia effettivamente soluzione dell'equazione, possiamo effettuare ulteriori semplificazioni. In buona sostanza, possiamo razionalizzare il denominatore moltiplicando e dividendo \sqrt{3}

x=\frac{-3\sqrt{6}\cdot\sqrt{3}}{\sqrt{3}\cdot\sqrt{3}} \ \ \ \to \ \ \ x=-\frac{3\sqrt{6}\cdot\sqrt{3}}{3}

da cui semplificando a dovere

x=-\sqrt{6}\cdot\sqrt{3}

Eseguiamo la moltiplicazione tra le radici

x=-\sqrt{6\cdot 3} \ \ \ \to \ \ \ x=-\sqrt{18}

e semplifichiamo il radicale

x=-\sqrt{2\cdot 3^2} \ \ \ \to \ \ \ x=-3\sqrt{2}

In buona sostanza abbiamo:

- scomposto in fattori primi il radicando;

- trasportato fuori dalla radice la potenza a esponente pari.

Scriviamo per bene le conclusioni. L'equazione data ammette due soluzioni reali e distinte

x_1=-3\sqrt{2} \ \ \ ; \ \ \ x_2=0

pertanto è determinata e il suo insieme soluzione è

S=\left\{-3\sqrt{2}, 0\right\}

Abbiamo finito.
Ringraziano: danying, Galois, Manuel1990, matdom
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Os