Equazione spuria di secondo grado con i radicali

Finora ho svolto moltissimi esercizi sulle equazioni di secondo grado senza commettere nemmeno un errore, ma me ne è capitato uno in cui mi si chiede di determinare le soluzioni di un'equazione spuria a coefficienti irrazionali, che non so risolvere proprio a causa dei radicali. Spero possiate aiutarmi a risolvere il mio problema.

Determinare le soluzioni della seguente equazione spuria a coefficienti irrazionali



Grazie.

Il nostro compito consiste nel risolvere l'equazione di secondo grado



ma prima di avventurarci nei calcoli è opportuno fare delle precisazioni.

L'equazione è espressa in forma normale? Non ancora, bisogna ordinare il polinomio secondo le potenze decrescenti dell'incognita a sinistra dell'uguale



Ora è in forma normale.

Osserviamo che il termine noto è nullo, dunque siamo autorizzati a concludere che siamo in presenza di un'equazione spuria.

Osserviamo inoltre che al denominatore di compare il radicale che complica un po' la risoluzione dell'equazione stessa. Per agevolare i passaggi algebrici effettuiamo una razionalizzazione moltiplicando e dividendo per



da cui



A questo punto l'equazione è facile da risolvere: è sufficiente calcolare il minimo comune multiplo tra i denominatori e scrivere



In virtù del secondo principio di equivalenza, possiamo eliminare il denominatore, ottenendo così l'equazione equivalente



Continuiamo con la risoluzione raccogliendo totalmente



e sfruttando la legge di annullamento del prodotto, secondo cui un prodotto è zero se e solo se almeno uno dei fattori che lo compongono è zero. Scriviamo pertanto:



Esse sono entrambe equazioni di primo grado, la prima delle quali fornisce già la soluzione nulla.

La seconda richiede qualche passaggio algebrico in più.

Per risolvere l'equazione



isoliamo il termine con l'incognita al primo membro, trasportando a destra dell'uguale cambiandogli il segno



dopodiché dividiamo a destra e a sinistra per



Sebbene questo valore sia effettivamente soluzione dell'equazione, possiamo effettuare ulteriori semplificazioni. In buona sostanza, possiamo razionalizzare il denominatore moltiplicando e dividendo



da cui semplificando a dovere



Eseguiamo la moltiplicazione tra le radici



e semplifichiamo il radicale



In buona sostanza abbiamo:

- scomposto in fattori primi il radicando;

- trasportato fuori dalla radice la potenza a esponente pari.

Scriviamo per bene le conclusioni. L'equazione data ammette due soluzioni reali e distinte



pertanto è determinata e il suo insieme soluzione è



Abbiamo finito.