Disequazione con potenze di logaritmi #53744

avt
Android
Punto
Ciao a tutti. Mi è capitato di fare questa disequazione con potenze quadrate e cubiche di logaritmi

\log^3(x) - 4\log^2(x) + 4\log(x)\le 0

Come risolverlo? Grazie in anticipo emt
 
 

Re: Equazione con potenze di logaritmi #53764

avt
Ifrit
Amministratore
Ciao Android emt

Ti fornisco una traccia della risoluzione.

Passo 1: utilizza le proprietà dei logaritmi.

Per x>0 (questa condizione è dovuta al C.E del primo logaritmo), possiamo scrivere:

\log^3(x)- 4 \log^2(x)+4\log(x)\le 0

Passo 2: poni t= \log(x), in questo modo otterrai la disequazione:

t^3- 4 t^2+4 t\le 0

è una disequazione di grado superiore al secondo.

Passo 3: Fattorizza il polinomio in t al primo membro:

t(t^2- 4 t+4 )\le 0

Passo 4: studia separatamente il segno dei due fattori, t e t^2-4 t+4, disegna la tabella dei segni e prendi in considerazione la parte negativa o nulla.

Passo 5: torna nella variabile x ricordandoti la posizione t=\log(x) e la condizione x>0.

Provaci, non è difficile emt emt
Ringraziano: Omega, Android

Re: Equazione con potenze di logaritmi #53766

avt
Android
Punto
Ciao, intanto grazie per la risposta tempestiva.
Tuttavia mi sono accorto di aver commesso un errore nello scrivere la traccia prima (nel secondo logaritmo ho scritto la x alla quarta emt ) quindi invece di:

t(t^2- 64 t+4 )\le 0

è

t(t^2- 4 t+4 )\le 0


Fino al 3 passo, tutto ok, poi non mi è molto chiaro e non riesco ad andare avanti emt
Il risultato della disequazione comunque è: 0 < x < o uguale a 1 con x=100 (questa volta il risultato l'ho scritto bene emt

Re: Equazione con potenze di logaritmi #53773

avt
Ifrit
Amministratore
Ok, dopo provvederò a correggere l'intero post emt

Una volta arrivati alla disequazione:

t(t^2-4 t+4)\le 0

studiamo il segno dei fattori che troviamo al primo membro della disequazione:

t\ge 0 (immediato)

t^2-4 t+ 4\ge 0

la seconda è una disequazione di secondo grado ed è soddisfatta per ogni t, in particolare si annulla se t=2

Tabuliamo i segni:

\begin{matrix}t&:& ---[0]+++ [2]+++\\ t^2-4t+4&:&+++[0]+++[2]+++\\ tot&:&---[0]+++[2]+++\end{matrix}

A noi interessa la parte negativa o nulla, quindi:

t\le 0\vee t= 2

Torniamo in x ricordando che t= \log(x) si ha:

t\le 0\iff \log(x)\le 0\iff 0<x\le 1

(è una disequazione logaritmica)

t=2 \iff \log(x)= 2\iff x= 10^2= 100

(questa è invece una equazione logaritmica)

In definitiva l'insieme soluzione della disequazione di partenza è:

0<x\le1 \vee x= 100

emt
Ringraziano: Omega, Pi Greco, Galois, Android

Re: Equazione con potenze di logaritmi #53776

avt
Android
Punto
tutto chiaro e veloce, grazie! emt
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Os