Risolvere una disequazione logaritmica fratta

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Risolvere una disequazione logaritmica fratta #53512

avt
Fab94
Punto
Ciao a tutti! Ho provato a risolvere una disequazione logaritmica fratta, senza riuscirci. Il problema è che a numeratore c'è una x che moltiplica il logaritmo e non so come comportarmi. Sarebbe questa

[ x log(x+2) ] / (x-3) < 0

Ho posto la condizione di esistenza del logaritmo e anche della frazione (ponendo x-3>0) ma c'è la x che moltiplica il logaritmo che mi dà fastidio. Ho applicato la proprietà del logaritmo ponendo la x come esponente dell'argomento del logaritmo ma non riesco ad andare avanti. Mi potete aiutare scrivendomi questo passaggio che mi manca?

Grazie mille
 
 

Risolvere una disequazione logaritmica fratta #53516

avt
Galois
Coamministratore
Ciao Fab94 emt

Dobbiamo risolvere la disequazione fratta:

\frac{x\log(x+2)}{x-3} \ < \ 0

Iniziamo col trovare le condizioni di esistenza:

\left\{ \begin{matrix} x+2 > 0 \\ x-3 \neq 0\end{matrix}

da cui abbiamo x>-2, x \neq 3, ovvero:

D=]-2,3[ \cup ]3,+\infty[

Passiamo ora a risolvere la nostra disequazione, andando a studiare separatamente numeratore e denominatore:

[b]Numeratore[/b]

x\log (x+2) > 0

da cui:

x>0

\log (x+2) > 0 (disequazione logaritmica) che ci da le soluzioni: x>-1

Pertanto il numeratore è:

positivo per x<-1 \vee x>0,

negativo per -1<x<0

Passiamo ora al denominatore

x-3 > 0 \rightarrow x>3


Studiando il segno globale (fra numeratore e denominatore) abbiamo che:

la funzione di partenza è

positiva per  -1<x<0 \vee x>3,

negativa per x<-1 \vee 0<x<3

A noi interessa dov'è negativa (in quanto vi era il segno di minore). Ricordiamoci però delle condizioni di esistenza! Avremo quindi che la nostra disequazione è verificata per:

-2<x<-1 \vee 0<x<3

emt
Ringraziano: Omega, Pi Greco, Ifrit, Fab94
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Os