Disequazione irrazionale con tre radici e polinomio di 2° grado

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Disequazione irrazionale con tre radici e polinomio di 2° grado #53184

avt
peppesb
Punto
Salve ragazzi, siete grandissimi, mi avete aiutato tanto con il vostro sito! Avrei una disequazione che non riesco proprio a risolvere, spero possiate aiutarmi! Non so più dove sbattere la testa emt
A voi il testo:

\sqrt{x+3}-\sqrt{-x^{2}+1}<\sqrt{x^{2}+3}
 
 

Re: Disequazione irrazionale con tre radici e polinomio di 2° grado #53187

avt
Galois
Coamministratore
Ciao peppesb emt

Abbiamo la disequazione irrazionale:

\sqrt{x+3}-\sqrt{-x^2+1} < \sqrt{x^2+3}

Iniziamo col determinare il campo di esistenza:

\left\{ \begin{matrix} x+3 \geq 0 \\ -x^2+1 \geq 0 \\  x^2+3 \geq 0 \end{matrix}

Si tratta di un sistema di disequazioni che ci fornisce la condizione di esistenza (a te i facili conti):

C.E. \ \ -1 \leq x \leq 1

Isoliamo ora la prima radice:

\sqrt{x+3} < \sqrt{-x^2+1} + \sqrt{x^2+3}

Ed eleviamo ambo i membri al quadrato, ottenendo:

x+3 < \left(\sqrt{-x^2+1} + \sqrt{x^2+3}\right)^{2}

A seconda membro dobbiamo sviluppare il quadrato di un binomio, da cui vien fuori:

x+3 < -x^2+1+x^2+3+2\sqrt{-x^2+1}\sqrt{x^2+3}

ovvero:

x+3 < 4+2\sqrt{(-x^2+1)(x^2+3)}

che riscriveremo come:

2\sqrt{(-x^2+1)(x^2+3)} > x-1


\sqrt{(-x^2+1)(x^2+3)} > \frac{x-1}{2}

Ci siamo quindi ricondotti ad una comune disequazione irrazionale del tipo:

\sqrt{f(x)} > g(x)

che risolveremo andando a risolvere i due sistemi:

\left\{ \begin{matrix} \frac{x-1}{2} < 0 \\ (-x^2+1)(x^2+3)>0 \end{matrix} \ \cup \ \left\{ \begin{matrix} \frac{x-1}{2} \geq 0 \\ (-x^2+1)(x^2+3)>\left(\frac{x-1}{2}\right)^2 \end{matrix}

La prima disequazione del primo sistema è verificata per x<1

La seconda disequazione del primo sistema è verificata per -1 < x < 1

Dunque il primo sistema ha come soluzione: -1<x<1


La prima disequazione del secondo sistema è verificata per x \geq 1

La seconda disequazione del secondo sistema è verificata per x<1

Dunque il secondo sistema ha come soluzione x=1

Unendole vien fuori: -1 \leq x < 1 che rientra nel campo di esistenza inizialmente trovato.

emt
Ringraziano: Pi Greco, Ifrit, peppesb
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Os