Equazione letterale con parametro fratto

Ho delle grosse difficoltà nella risoluzione di equazioni parametriche di primo grado quando i parametri sono al denominatore, ecco perché ho bisogno di una mano.

Determinare al variare del parametro reale l'insieme delle soluzioni associato all'equazione parametrica di primo grado



Grazie.

Nell'equazione parametrica di primo grado



il parametro si manifesta anche ai denominatori: dobbiamo pertanto stare attenti a imporre le condizioni di esistenza, richiedendo che tali denominatori siano non nulli.



Scriviamo:



e osserviamo che nel caso in cui assumesse uno tra i valori 3 e -3, l'equazione perderebbe di significato perché non è possibile dividere per zero.

Sotto tali vincoli possiamo continuare la discussione, scrivendo l'equazione in forma normale. Calcoliamo, quindi, il minimo comune multiplo tra i denominatori



e cancelliamoli, in virtù del secondo principio di equivalenza



Sviluppiamo i prodotti sia al primo che al secondo membro



e trasportiamo tutti i termini senza l'incognita al secondo membro



A questo punto possiamo intavolare la discussione, analizzando il coefficiente di .

Se , ossia se , l'equazione si riduce a



Quella ottenuta è un'identità, per cui l'equazione è indeterminata.

Se il coefficiente di è non nullo, ossia se , allora possiamo dividere i due membri per , ottenendo così la soluzione



Possiamo finalmente trarre le conclusioni:

- se , l'equazione perde di significato;

- se , l'equazione è indeterminata;

- se , l'equazione è determinata con soluzione



Abbiamo terminato!