Equazione letterale con parametro fratto

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Equazione letterale con parametro fratto #52930

avt
zxzrooneyzxz
Cerchio
Ho delle grosse difficoltà nella risoluzione di equazioni parametriche di primo grado quando i parametri sono al denominatore, ecco perché ho bisogno di una mano.

Determinare al variare del parametro reale b l'insieme delle soluzioni associato all'equazione parametrica di primo grado

\frac{b x}{b-3}-\frac{bx-3}{b+3}=1

Grazie.
 
 

Equazione letterale con parametro fratto #52932

avt
Omega
Amministratore
Nell'equazione parametrica di primo grado

\frac{b x}{b-3}-\frac{bx-3}{b+3}=1

il parametro si manifesta anche ai denominatori: dobbiamo pertanto stare attenti a imporre le condizioni di esistenza, richiedendo che tali denominatori siano non nulli.

\\ b-3\ne 0 \ \ \to \ \ b\ne 3 \\ \\ b+3\ne 0 \ \ \to \ \ b\ne -3

Scriviamo:

C.E.:\ b\ne -3\ \ \ \wedge\ \ \ b=3

e osserviamo che nel caso in cui b assumesse uno tra i valori 3 e -3, l'equazione perderebbe di significato perché non è possibile dividere per zero.

Sotto tali vincoli possiamo continuare la discussione, scrivendo l'equazione in forma normale. Calcoliamo, quindi, il minimo comune multiplo tra i denominatori

\frac{bx(b+3)-(bx-3)(b-3)}{(b-3)(b+3)}=\frac{(b-3)(b+3)}{(b-3)(b+3)}

e cancelliamoli, in virtù del secondo principio di equivalenza

bx(b+3)-(bx-3)(b-3)=(b-3)(b+3)

Sviluppiamo i prodotti sia al primo che al secondo membro

b^2x +3bx-b^2x+3bx+3b-9=b^2-9

e trasportiamo tutti i termini senza l'incognita al secondo membro

6bx=b^2-3b

A questo punto possiamo intavolare la discussione, analizzando il coefficiente di x.

Se 6b=0, ossia se b=0, l'equazione si riduce a

6\cdot 0\cdot x= 0^2 -3 \cdot 0 \ \ \to \ \ 0=0

Quella ottenuta è un'identità, per cui l'equazione è indeterminata.

Se il coefficiente di x è non nullo, ossia se b\ne 0, allora possiamo dividere i due membri per 6b, ottenendo così la soluzione

x=\frac{b^2-3b}{6b}=\frac{b(b-3)}{6b}=\frac{b-3}{6}

Possiamo finalmente trarre le conclusioni:

- se b=-3 \ \vee \ b=3, l'equazione perde di significato;

- se b=0, l'equazione è indeterminata;

- se b\ne -3 \ \wedge \ b\ne 3 \ \wedge \ b\ne 0, l'equazione è determinata con soluzione

x=\frac{b-3}{6}

Abbiamo terminato!
Ringraziano: Ifrit, Galois
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Os