Scomporre una differenza di quadrati con esponenti letterali

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Scomporre una differenza di quadrati con esponenti letterali #5267

avt
luciaaa
Cerchio
Dovrei scomporre un polinomio a esponenti letterali mediante la regola della differenza di due quadrati, la presenza degli esponenti con le lettere, però, mi mandano ai matti.

Usare la regola sulla differenza di due quadrati per scomporre il polinomio

x^{2n+2}-y^{2m-2} \ \ \ \mbox{con} \ n\ge -1 \ \mbox{e} \ m\ge 1

Grazie mille.
 
 

Scomporre una differenza di quadrati con esponenti letterali #5507

avt
Omega
Amministratore
Consideriamo il binomio

x^{2n+2}-y^{2m-2}

Il nostro compito consiste nel determinare la scomposizione del polinomio avvalendoci di un ben preciso prodotto notevole, vale a dire:

A^2-B^2=(A+B)(A-B)

detta regola di scomposizione della differenza di due quadrati.

In maniera esplicita, la differenza di due quadrati, A^2-B^2, si scompone come prodotto tra la somma delle basi, (A+B), per la loro differenza (A-B).

Analizziamo il binomio

x^{2n+2}-y^{2m-2}=

e osserviamo che agli esponenti possiamo raccogliere il fattore comune 2

=x^{2(n+1)}-y^{2(m-1)}=

Per le proprietà delle potenze, e in particolare sulla regola relativa alla potenza di una potenza, letta al rovescio, l'espressione diventa:

=(x^{n+1})^2-(y^{m-1})^2=

Ora dovrebbero essere evidenti le basi dei due quadrati: essi sono rispettivamente x^{n+1}\ \mbox{e} \ y^{m-1}, pertanto secondo la regola della differenza dei quadrati, scriviamo:

=(x^{n+1}+y^{m-1})(x^{n+1}-y^{m-1}) \ \ \ \mbox{con} \ \ n\ge -1 \ \ \mbox{e} \ \ m\ge 1

che rappresenta la scomposizione del polinomio iniziale.
Ringraziano: frank094
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Os