Equazione parametrica di primo grado con parametro fratto

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Equazione parametrica di primo grado con parametro fratto #52611

avt
sangi89
Frattale
Ho bisogno di aiuto per discutere un'equazione parametrica di primo grado, in cui c'è un solo parametro ma si trova nei denominatori. Come si fa?

Discutere la seguente equazione parametrica di primo grado

\frac{x}{a+1}+\frac{x}{a-1}=a

al variare del parametro reale a.

Grazie.
 
 

Equazione parametrica di primo grado con parametro fratto #52612

avt
Omega
Amministratore
Consideriamo l'equazione parametrica di primo grado

\frac{x}{a+1}+\frac{x}{a-1}=a

e osserviamo sin da subito che il parametro si manifesta anche nei denominatori. In tale circostanza è necessario richiedere innanzitutto che i denominatori che contengono i parametri siano non nulli, altrimenti l'equazione perde di significato.

Richiederemo pertanto che:

\\ a+1\ne 0 \ \ \ \to  \ \ \  a\ne -1 \\ \\ a-1\ne 0 \ \ \ \to \ \ \ a\ne 1

Se a=-1 oppure a=1, l'equazione perde di significato, se invece a\ne -1 \ \mbox{e}\ a\ne 1, possiamo continuare con la discussione.

Calcoliamo il denominatore comune:

\frac{x(a-1)+x(a+1)}{(a+1)(a-1)}=\frac{a(a+1)(a-1)}{(a+1)(a-1)}

Poiché abbiamo imposto che a\ne -1\ \mbox{e che}\ a\ne 1, possiamo tranquillamente cancellare i denominatori, ricavando così l'equazione equivalente

x(a-1)+x(a+1)=a(a+1)(a-1)

A questo punto raccogliamo totalmente x al primo membro

(a-1+a+1)x=a(a+1)(a-1)

e svolgiamo i calcoli all'interno delle parentesi tonde, ottenendo così l'equazione espressa in forma normale.

2ax=a(a+1)(a-1)

In base al valore che assume il coefficiente di x, ossia 2a, possono verificarsi tre possibilità.

Se 2a=0, vale a dire se a=0, l'equazione diventa:

2\cdot 0 \cdot x=0\cdot (0+1)(0-1) \ \ \ \to \ \ \ 0=0

pertanto è indeterminata, ammette cioè infinite soluzioni.

Se 2a\ne 0 e sotto il vincolo dettato dalle condizioni di esistenza, ossia se

a\ne 0\ \ \ \wedge \ \ \ a\ne -1 \ \ \ \wedge \ \ \ a\ne 1

siamo autorizzati a dividere per 2a

x=\frac{a(a+1)(a-1)}{2a}

da cui, semplificando la frazione algebrica al secondo membro, segue:

x=\frac{(a+1)(a-1)}{2}=\frac{a^2-1}{2}

Ora che abbiamo analizzato tutti i casi possibili, possiamo trarre le dovute conclusioni:

- se a=-1 \ \wedge \ a=1, l'equazione non ha senso;

- se a=0, l'equazione è indeterminata;

- se a\ne -1 \ \wedge \ a\ne 1 \ \wedge \ a\ne 0, l'equazione è determinata e ammette come soluzione

x=\frac{a^2-1}{2}

Abbiamo finito.
Ringraziano: ceffe
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Os