Esercizio equazione con termini irrazionali e fratti

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Esercizio equazione con termini irrazionali e fratti #52513

avt
xavier310
Sfera
Ho sempre riscontrato più di qualche perplessità nel risolvere le equazioni irrazionali fratte: già quando impongo le condizioni di esistenza, mi vengono mille dubbi. Per questi motivi, chiedo il vostro aiuto per risolvere il seguente esercizio.

Determinare le eventuali soluzioni dell'equazione irrazionale fratta

\frac{x^2-4x}{\sqrt{x^2-1}}+\sqrt{x^2-1}=0

Grazie.
Ringraziano: Omega, Pi Greco, Ifrit, Galois
 
 

Esercizio equazione con termini irrazionali e fratti #52515

avt
Galois
Coamministratore
Consideriamo l'equazione irrazionale

\frac{x^2-4x}{\sqrt{x^2-1}}+\sqrt{x^2-1}=0

Prima di poter svolgere qualsiasi passaggio algebrico, è necessario imporre le dovute condizioni di esistenza. Proprio perché compaiono radici di indice pari, i radicandi devono essere maggiori o al più uguali a zero.

x^2-1\ge 0

Evidenziamo che se il radicando fosse nullo, si annullerebbe anche il denominatore e ciò farebbe perdere di significato l'intera equazione. Questo motivo ci spinge a considerare la disequazione di secondo grado

C.E.:\ x^2-1>0\ \ \ \to \ \ \ x<-1 \ \ \vee \ \ x>1

Una volta determinate le condizioni che definiscono l'insieme di esistenza delle soluzioni, possiamo procedere con i passaggi algebrici.

Esprimiamo la somma a denominatore comune

\frac{x^2-4x+[\sqrt{x^2-1}]^2}{\sqrt{x^2-1}}=0

moltiplichiamo i due membri per \sqrt{x^2-1}

x^2-4x+[\sqrt{x^2-1}]^2=0

e cancelliamo la radice quadrata con l'esponente

x^2-4x+x^2-1=0

Una volta sommati tra loro i termini simili, otteniamo l'equazione di secondo grado

2x^2-4x-1=0

Indicati con a, \ b \ \mbox{e} \ c rispettivamente il coefficiente di x^2, quello di x e il termine noto, possiamo ricavare le soluzioni con la formula del delta quarti

\\ x_{1,2}=\frac{-\frac{b}{2}\pm\sqrt{\left(\frac{b}{2}\right)^2-ac}}{a}=\frac{2\pm\sqrt{6}}{2}= \\ \\ \\ = \begin{cases}\frac{2-\sqrt{6}}{2}=x_1 \\ \\ \frac{2+\sqrt{6}}{2}=x_2\end{cases}

Attenzione, i valori si candidano come soluzione dell'equazione data, ma solo quelli che rispettano le condizioni di esistenza sono accettabili, in particolare:

x=\frac{2-\sqrt{6}}{2}\simeq -0.224745

non è soluzione dell'equazione perché non soddisfa le condizioni

x<-1 \ \ \vee \ \ x>1

D'altro canto

x_2=\frac{2+\sqrt{6}}{2}\simeq 2.22474

rientra nell'insieme di esistenza delle soluzioni. In definitiva, l'equazione irrazionale

\frac{x^2-4x}{\sqrt{x^2-1}}+\sqrt{x^2-1}=0

è soddisfatta esclusivamente per

x=\frac{2+\sqrt{6}}{2}

Abbiamo finito.
Ringraziano: Omega, Pi Greco, Ifrit, xavier310
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Os